Corrigé – exercices de géométrie – 6, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Corrigé – exercices de géométrie – 6, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Corrigé des exercices de géométrie 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’espace muni d’un repère orthonormal, les éléments caractéristiques.
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[ Baccalauréat S Liban mai 2006 \

EXERCICE 1 5 points

Commun à tous les candidats

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on donne les points

A(2 ; 1 ; 3), B(−3 ; −1 ; 7) et C(3 ; 2 ; 4).

1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Soit (d) la droite de représentation paramétrique

x = −7+2t y = −3t z = 4+ t

a. Montrer que la droite (d) est orthogonale au plan (ABC).

b. Donner une équation cartésienne du plan (ABC).

3. Soit H le point commun À la droite (d) et au plan (ABC).

a. Montrer que H est le barycentre de (A ; −2), (B ; −1) et (C ; 2). b. Déterminer la nature de l’ensemble Γ1, des points M de l’espace tels que

(

−2−−→MA −−−→MB +2−−→MC )

· (−−→ MB −−−→MC

)

= 0

En préciser les éléments caractéristiques.

c. Déterminer la nature de l’ensemble Γ2, des points M de l’espace tels que ∥

∥−2 −−→ MA −−−→MB +2−−→MC

∥= p 29

En préciser les éléments caractéristiques.

d. Préciser la nature et donner les éléments caractéristiques de l’intersection des ensembles Γ1 et Γ2.

e. Le point S (−8 ; 1 ; 3) appartient-il À l’intersection des ensembles Γ1 et Γ2.

EXERCICE 2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On prendra 2 cm pour unité graphique. Soit A le point d’affixe i et B le point d’affixe 2.

1. a. Déterminer l’affixe du point B1 image de B par l’homothétie de centre A et de rapport

p 2.

b. Déterminer l’affixe du point B′ image de B1 par la rotation de centre A et

d’angle π

4 .

Placer les points A, B et B′.

2. On appelle f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que

z ′ = (1+ i)z+1.

a. Montrer que B a pour image B′ par f .

b. Montrer que A est le seul point invariant par f .

c. Établir que pour tout nombre complexe z distinct de i, z ′− z i− z

=−i. Interpréter ce résultat en termes de distances puis en termes d’angles.

En déduire une méthode de construction de M′ À partir de M , pour M distinct de A.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. a. Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l’ensemble Σ1 des points M du plan dont l’affixe z vérifie |z−2| =

p 2.

b. Démontrer que z ′−3−2i= (1+ i)(z−2). En déduire que si le point M appartient À Σ1, alors son image M ′ par f appartient À un cercle Σ2, dont on précisera le centre et le rayon.

c. Tracer Σ1 et Σ2 sur la même figure que A, B et B′.

EXERCICE 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe muni du repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, on considère

les points A d’affixe 3i et B d’affixe 6 ; unité graphique : 1 cm.

Partie A

1. Montrer qu’il existe une similitude directe et une seule qui transforme A en O et O en B. Préciser ses éléments caractéristiques.

2. Montrer qu’il existe une similitude indirecte et une seule qui transforme A en O et O en B.

Partie B

1. Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, À tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ =−2iz+6 où z désigne le conjugué de z. Montrer que f possède un point invariant et un seul. On note K ce point.

2. Soit h l’homothétie de centre K et de rapport 1

2 .

On pose g = f h. a. Montrer que g est une isométrie laissant invariant le point K.

b. On désigne par M ′′ l’image du point M d’affixe z par la transformation g .

Montrer que l’écriture complexe de g est z ′′ =−iz+2+2i où z ′′ est l’affixe deM ′′.

c. Montrer qu’il existe sur l’axe (

O, −→ v )

un unique point invariant par g ; on

le note L.

Reconnaître alors la transformation g .

d. En déduire que la transformation f est la composée d’une homothétie h

suivie de la réflexion d’axe (KL). Préciser les éléments caractéristiques de h′.

3. Déterminer les droites ∆ telles que f (∆) et ∆ soient parallèles.

EXERCICE 3 7 points

Commun à tous les candidats

Partie A : étude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

f (x)= x ln(x+1).

Sa courbe représentative (C ) dans un repère orthogonal (

O, −→ u ,

−→ v )

est donnée en annexe.

1. a. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[. b. L’axe des abscisses est-il tangent À la courbe (C ) au point O ?

Liban 2 mai 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. On pose I= ∫1

0

x2

x+1 dx.

a. Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout x 6= −1,

x2

x+1 = ax+b+

c

x+1 .

b. Calculer I.

3. À l’aide d’une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2, calculer, en unités d’aires, l’aire A de la partie du plan limitée par la courbe (C ) et les droites d’équations x = 0, x = 1 et y = 0.

4. Montrer que l’équation f (x)= 0,25 admet une seule solution sur l’intervalle [0 ; 1]. On note α cette solution. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2.

Partie B : étude d’une suite

La suite (un ) est définie surN par un = ∫1

0 xn ln(x+1)dx.

1. Déterminer le sens de variation de la suite (un ).

La suite (un ) converge-t-elle ?

2. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, 06 un 6 ln2

n+1 .

En déduire la limite de la suite (un ).

EXERCICE 4 3 points

Commun à tous les candidats

La durée de vie d’un robot, exprimée en années, jusqu’À ce que survienne la pre- mière panne est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, avec λ> 0. Ainsi, la probabilité qu’un robot tombe en panne avant l’instant t est égale à

p(X 6 t)= ∫t

0 λe−λx dx.

1. Déterminer λ, arrondi à 10−1 près, pour que la probabilité p(X > 6) soit égale à 0,3.

Pour la suite de l’exercice, on prendra λ= 0,2 . 2. À quel instant t , à un mois prés, la probabilité qu’un robot tombe en panne

pour la première fois est-elle de 0,5 ?

3. Montrer que la probabilité qu’un robot n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années est e−0,4.

4. Sachant qu’un robot n’a pas eu de panne au cours des deux premières an- nées, quelle est, à 10−2 près, la probabilité qu’il soit encore en état demarche au bout de six ans ?

5. On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante.

Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années.

Liban 3 mai 2006

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Annexe

Exercice 3

Représentation graphique de la fonction f obtenue à l’aide d’un tableur

Courbe (C )

0 1 2 3 0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 x

y

Liban 4 mai 2006

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