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Chapitre I
Applications, généralités
I – Définitions
1. Application
Définition : Une application est la donnée :
- d’un ensemble de départ ,
- d’un ensemble d’arrivée ,
- d’une définition ou d’une formule associant à chaque élément un unique élément ( ) (^).
Exemples : , , , sont 4 applications différentes!
( )
2. Image et antécédent
Définition : Si est une application, alors :
- Pour , on appelle image de par l’élément ( ).
- Si est une partie de , on note (^ )^ ( )^ l’image de par. Si , (^ ) s’appelle l’image de.
- Si est donné, alors on dit que est un antécédent de par si ( ).
Attention : La notation ne signifie pas que tout s’écrit ( ), mais seulement que ( ).
Exemple : Pour (^ )^ {^ }^ , on a (^ )^ (^ )^.
Si passe par 0, il existe une infinité d’antécédents de : tous les points de différents de 0.
II – Propriétés générales
1. Définition
Définition : Soit une application.
- On dit que est injective si tout possède au plus un antécédent
- On dit que est surjective si tout possède au moins un antécédent.
- On dit que est bijective si tout possède exactement un antécédent. On note alors ( )^ cet élément, et l’application ainsi définie est appelée l’ application réciproque de.
O
,i
+^ m
2. En pratique
Si est donnée. Pour savoir si est injective, on suppose ( ) ( ) et on montre que. Pour savoir si est surjective, on se donne et on cherche une solution de l’équation ( ). Pour savoir si est bijective, on montre que ( )^ possède une unique solution.
Retour sur les exemples précédents : On considère l’application.
On a ( ) ( ) et n’est donc pas injective. Comme n’a pas d’antécédent, n’est pas surjective.
On considère l’application. avec implique que. est donc injective. n’a pas d’antécédent. n’est donc pas surjective.
On voit de même que l’application n’est pas injective mais elle est surjective.
L’application est injective et surjective, elle est donc bijective.
III – Opérations générales sur les applications
1. Restriction
Définition : On suppose et donnés. On appelle restriction de à l’application définie par ( ) ( ) pour.
Exemple : Les applications vues précédemment et.
2. Prolongement
Définition : On suppose et donnés. On appelle prolongement de à une application telle que , c'est-à-dire satisfaisant ( ) ( ) si
Exemple : On considère l’application. Un prolongement de à est la donnée
de ( ). En analyse, il existe un unique prolongement de continu sur tout : il est défini
par ( ) {.
3. Composition
Définition : Soient et. La composée de par est l’application notée et définie par ( )( ) ( ( )).
Remarque : Si et , alors et existent et sont en général différentes.
On se retrouve donc avec un polynôme défini par ( ). On doit avoir racine de.
Condition nécessaire et suffisante d’existence de racine :.
Synthèse : Si alors a des racines. On note une de ses racines et on pose
. On a trouvé une solution de ( ) ( )
Cela montre que n’est pas surjective, et que l’image de f est le domaine
( ) ( )
On a en fait la symétrie (^ )^ (^ ). En effet, et jouent les mêmes rôles. ⇒ Elles sont toutes les deux des racines de.
⇒ n’est pas injective. Par contre, est injective en restriction au demi-plan
( ) (^).
On a sur A, √^ et √^ et
( ) ( √^ √^ ) pour ( ) ( ).
Cette application ( ) est une bijection. Il n’existe pas de domaine plus grand que
A sur laquelle reste injective.
2. En conclusion
Il n’y a pas de méthode « miracle » qui permette de savoir si une application générale est injective, surjective ou bijective. Nous verrons par contre que des outils efficaces existent lorsque l’application est linéaire.
