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Correction Bac Blanc Maths spécialité
Exercice 1. Asie juin 2013 Candidats suivant la spécialité Mathématiques 5 points Une application permet de transformer un élément rectangulaire d’un cliché.
Ainsi, le rectangle initial OEF G est transformé en un rectangle OE′F ′G′, appelé image de OEF G.
Figure 1 :
E
E′
F
F ′
G
G′
O
L’objet de cet exercice est d’étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives. Partie A Le plan est rapporté à un repère orthonormé O, Ð→ i , Ð→ j . Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives (2 ; 2), (−1 ; 5) et (−3 ; 3). La transformation de l’application associe à tout point M (x ; y) du plan le point M ′(x′^ ; y′), image du point M tel que : ⎧⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎩
x′^ = 54 x + 34 y y′^ = 34 x + 54 y
Figure 2 :
E
F
G
Ð→
i
Ð→
j
O
- a. Calculer les coordonnées des points E′, F ′^ et G′, images des points E, F et G par cette transformation. ⎧⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎨ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎩
xE′ = 5 4
xE + 3 4
yE = 5 4
× 2 + 3
× 2 = 5
yE′^ =
4 xE^ +^
4 yE^ =^
4 ×^2 +^
4 ×^2 =^
2 +^
2 =^
2 =^4
donc E′^ (4 ; 4)
xF ′^ = 5 4
xF + 3 4
yF = 5 4
× (− 1 ) + 3
× 5 = −^5
yF ′ = 3 4
xF + 5 4
yF = 3 4
× (− 1 ) + 5
× 5 = −^3
donc F ′^
xG′ = 5 4
xG + 3 4
yG = 5 4
× (− 3 ) + 3
× 3 = −^15
= −^6
= −^3
yG′^ =
xG +
yG =
× (− 3 ) +
× 3 =
donc G′^ − 3 2
;^3
b. Comparer les longueurs OE et OE′^ d’une part, OG et OG′^ d’autre part. Donner la matrice carrée d’ordre 2, notée A, telle que : ⎛⎝^ x
′ y′
⎞ ⎠ =^ A^
⎛ ⎝
x y
⎞ ⎠. OE =
(xE − xO)^2 + (yE − yO)^2 =
OE′^ =
(xE′^ − xO)^2 + (yE′^ − yO)^2 =
Ô⇒ OE′^ = 2 OE
OG =
(xG − xO)^2 + (yG − yO)^2 =
(− 3 )^2 + 32 =
OG′^ =
(xG′^ − xO)^2 + (yG′^ − yO)^2 =
2
2
4 =^
Ô⇒ OG′^ = 1
OG
Avec A =
5 4
3 4 3 4
5 4
, on a : A
x y
5 4
3 4 3 4
5 4
x y
5 4 x^ +^
3 4 y 3 4 x^ +^
5 4 y
x′ y′
Partie B Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet F du rectangle OEF G lorsqu’on applique plusieurs fois la transformation de l’application.
- On considère l’algorithme suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives. Une erreur a été commise. Comment modifier cet algorithme pour qu’il permette d’afficher ces coordonnées. Il suffit d’écrire « Afficher x, afficher y » avant le « FIN POUR ».
Entrée Saisir un entier naturel non nul N Traitement Affecter à x la valeur − 1 Affecter à y la valeur 5 POUR i allant de 1 à N Affecter à a la valeur 54 x + 34 y Affecter à b la valeur 34 x + 54 y Affecter à x la valeur a Affecter à y la valeur b Afficher x, afficher y FIN POUR
- On a obtenu le tableau suivant :
i 1 2 3 4 5 10 15 x 2 , 5 7 , 25 15 , 625 31 ,812 5 63 ,906 3 2 047,997 1 65 535,999 9 y 5 , 5 8 , 75 16 , 375 32 ,187 5 64 ,093 8 2 048,002 9 65 536,000 1
Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point F. On conjecture que les cordonnées des images successives sont de plus en plus grandes (elles sont croissantes) et tendent vers +∞, tout en se rapprochant (les points images sont de plus en plus proches de la droite y = x).
Partie C Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet E du rectangle OEF G. On définit la suite des points En (xn ; yn) du plan par E 0 = E et la relation de récurrence :
⎛ ⎝
xn+ 1 yn+ 1
⎞ ⎠ =^ A^
⎛ ⎝
xn yn
⎞ ⎠ ,
où (xn+ 1 ; yn+ 1 ) désignent les coordonnées du point En+ 1. Ainsi x 0 = 2 et y 0 = 2.
- On admet que, pour tout entier n ⩾ 1 , la matrice An^ peut s’écrire sous la forme : An^ = ⎛⎝^ α βnn^ αβnn^ ⎞⎠. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n ⩾ 1 , on a :
αn = 2 n−^1 + (^2) n^1 + 1 et βn = 2 n−^1 − (^2) n^1 + 1.
b. Démontrer que la longueur OEn tend vers +∞ quand n tend vers +∞. OE^2 n = (xn − 0 )^2 + (yn − 0 )^2 = x^2 n + y n^2 = 2 x^2 n car xn = yn. Or xn = 2 αn + 2 βn = 2 (αn + βn) = 2 2 n−^1 + 1 2 n+^1
= 2 × 2 × 2 n−^1 = 2 × 2 n. Donc OE n^2 = 2 × 4 ( 2 n)^2 Ð→ OEn = 2
22 n^ car OEn ⩾ 0. Comme 2 > 1 , on a : (^) nlim→+∞ 2 n^ = +∞, et comme 2
2 > 0 , on a alors :
n^ lim→+∞ OEn^ =^ nlim→+∞ 2
2 × 2 n^ = +∞.
Exercice 1. 10 = [( 1 + 1. 5 )] + [ 0. 5 + 0. 5 ] + [ 3 + ( 1 , 5 + 2 )]
Barème
E n
d
E n
d
