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[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2007 \
EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats
Question de cours
Prérequis : positivité et linéarité de l’intégrale.
Soient a et b deux réels d’un intervalle I de R tels que a 6 b. Démontrer que si f et g sont
deux fonctions continues sur I telles que pour tout réel x de l’intervalle I , f ( x ) > g ( x ),
alors
∫ b
a
f ( x ) d x >
∫ b
a
g ( x ) d x.
Partie A
1. Soit x un réel supérieur ou égal à 1. Calculer en fonction de x l’intégrale
∫ x
1
(2 − t ) d t.
2. Démontrer que pour tout réel t appartenant à l’intervalle [1 ; +∞[, on a : 2 − t 6
t
3. Déduire de ce qui précède que pour tout réel x supérieur ou égal à 1, on a :
x^2 + 2 x −
6 ln x.
Partie B
Soit h la fonction définie sur R par
h ( x ) = −
x^2 + 2 x −
Sur le graphique joint en annexe, le plan est muni d’un repère orthogonal
O,
ı ,
dans lequel on a tracé les courbes représentatives des fonctions h et logarithme népérien sur l’intervalle [1 ; 4]. On a a tracé également la droite ( d ) d’équation x = 4.
1. a. Démontrer que
1
h ( x ) d x = 0.
b. Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente.
2. On note ( D ) le domaine du plan délimité par la droite ( d ) et les courbes représen- tatives des fonction h et logarithme népérien sur l’intervalle [1 ; 4]. En utilisant un intégration par parties, calculer l’aire de ( D ) en unités d’aire.
EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité. ( O,
u ,
v
est un repère orthonormal direct du plan complexe.
Soit A le point d’affixe 1 + i. Au point M d’affixe z , on associe le point M ′^ d’affixe z ′^ telle que
z ′^ =
z + i z
1. On pose z = x + i y et z ′^ = x ′^ + i y ′^ avec x , y , x ′^ et y ′^ réels.
a. Démontrer les égalités suivantes : x ′^ =
( x + y ) et y ′^ =
( x + y ). En déduire que le point M ′^ appartient à la droite (O A ). b. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que M = M ′.
c. Démontrer que pour tout point M du plan les vecteurs
M M ′^ et
O A sont ortho- gonaux.
2. Soit r la rotation de centre O et d’angle π 2 . M 1 est le point d’affixe z 1 image de M par r , M 2 le point d’affixe z 2 = z , M 3 le point d’affixe z 3 tel que le quadrilatère O M 1 M 3 M 2 soit un parallélogramme. a. Dans cette question uniquement M a pour affixe 4 + i, placer les points M , M 1 , M 2 , M 3. b. Exprimer z 1 en fonction de z , puis z 3 en fonction de z. c. OM 1 M 3 M 2 est-il un losange? Justifier.
d. Vérifier que z ′^ − z =
i z 3.
En déduire que M M ′^ =
O M 3.
3. Démontrer que les points M , M 1 , M 2 et M 3 appartiennent à un même cercle de centre O si et seulement si M M ′^ =
O M.
Donner alors la mesure en radians de l’angle géométrique M à′O M.
EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité ( O,
u ,
v
est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique 1 cm). On considère le point A d’affixe zA = 1 + i.
On note S 1 la symétrie orthogonale par rapport à l’axe
O ;
u
et h l’homothétie de centre
O et de rapport 3. On pose s = h ◦ S 1.
Partie A
1. Placer le point A et compléter la figure au fur et à mesure. 2. Quelle est la nature de la transformation s? Justifier. 3. Déterminer l’écriture complexe de la transformation s. 4. a. Déterminer l’affixe zB du point B image de A par s. b. Montrer que zB = −3i zA. Déterminer une mesure de l’angle
O A ,
O B
5. Soient M le milieu de [ AB ] et P l’image de M par s. Montrer que la droite (O P ) est perpendiculaire à la droite ( AB ).
Partie B
1. On pose C = s ( B ). Montrer que P est le milieu de [ BC ]. 2. a. Déterminer l’écriture complexe de s ◦ s et en déduire sa nature. b. Montrer que l’image de la droite (O P ) par s est la droite ( OM ). c. Que représente le point M pour le triangle O BP? Justifier.
EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats
L’espace est rapporté au repère orthonormé
O,
ı ,
k
. On considère les points A (3 ; 0 ; 6) et I (0 ; 0 ; 6), et l’on appelle ( D ) la droite passant par A et I. On appelle ( P ) le plan d’équation 2 y + z − 6 = 0 et ( Q ) le plan d’équation y − 2 z + 12 = 0. 1. Démontrer que ( P ) et ( Q ) sont perpendiculaires.
b. La probabilité que ce soit une pièce P1 et qu’elle vienne de S1 est
c. La probabilité qu’elle vienne de S1 est
0,2 0,4 0,5 0,6 0,
2. Il y a 200 pièces au total. Cette fois l’employé tire deux pièces simultanément. On suppose tous les tirages équiprobables. a. Une valeur approchée à 10−^4 près de la probabilité que ce soit deux pièces P est :
b. Une valeur approchée à 10−^4 près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 et P2 est :
c. La probabilité que ce soient deux pièces fabriquées par le même fournisseur est : 357 995
3. La durée de vie exprimée en années des pièces P1 et P2 suit une loi exponentielle dont le paramètre λ est donné dans le tableau suivant : λ P1 P S1 0,2 0, S2 0,1 0,
On rappelle que si X , durée de vie d’une pièce exprimée en années, suit une loi
exponentielle de paramètre λ , alors p ( X 6 t ) =
∫ t
0
λ e− λx^ d x.
Une valeur approchée à 10−^4 près de la probabilité qu’une pièce P1 fabriquée par S1 dure moins de 5 ans est :
0,3679 0,
FIGURE 1 – Annexe (à rendre avec la copie)
0,
1,
1,
−0,
−1,
−1,
1 2 3 4 x
y
→ − i
−→ j
O
