Télécharge Introduction au Champ Magnétique et Calcul du Champ Créé par un Courant et plus Slides au format PDF de Physique sur Docsity uniquement!
Cours d’électromagnétisme
EM15-Champ magnétique
- 1 Introduction Table des matières
- 2 Action d’un champ électromagnétique sur une particule chargée
- 2.1 Force de Lorentz
- 2.2 Mouvement d’une particule chargée
- 3 Calcul du champ magnétique créé par un courant
- 3.1 Courant filiforme
- 3.2 Loi de Biot et Savart
- 3.3 Règle du tire-bouchon
- 3.4 Définition et continuité
- 4 Lignes de champ magnétique
- 5 Le champ magnétique est un pseudo-vecteur
- 6 Symétries et invariances
- 6.1 Invariances
- 6.2 Symétries et antisymétries
- 6.2.1 Plan de symétrie
- 6.2.2 Plan d’antisymétrie
- 7 Calcul du champ par méthode intégrale
- 8 Références
Electromagnétisme EM15-Champ magnétique 1. Introduction
1 Introduction
Voici venu le temps de parler de la deuxième "composante" du champ électromagnétique, le champ magnétique. Les premières manifestations de celui-ci viennent des aimants qui, en créant un champ magnétique, permettent d’attirer des objets à eux. Nous allons plutôt voir ici que l’existence du champ magnétique peut être prouvée par son effet sur une particule chargée. Sinon, nous étudierons dans ce chapitre des champ magnétostatique, c’est à dire créé par des courants dont les caractéristiques ne dépendent pas du temps.
Ce chapitre se construit comme celui sur le champ électrostatique, ce parallèle nous permettra probablement de passer moins de temps sur des notions déjà vu (distributions, invariances, symétries, ...)
2 Action d’un champ électromagnétique sur une particule
chargée
2.1 Force de Lorentz
Une charge q soumis à un champ électromagnétique subit une force constituée de deux parties :
- Une partie électrique, il s’agit de la force de Coulomb :
fe = q
E ;
- Une partie magnétique, qui s’écrit
fm = q −→ v ∧
B ;
L’ensemble de ces deux forces constitue la force de Lorentz : −→ f = q (
E + −→ v ∧
B ) (1)
Avec
f la force de Lorentz (N), q la charge qui subit la force (C),
E le champ électrique ( V.m −^1 ), −→ v la vitesse de la particule ( m.s − (^1) ) et −→ B le champ magnétique (voir 2.1 pour son unité).
B
f (^) m
v
q
Figure^ 1 – Force de lorentz
Ainsi, si seul un champ magnétique règle dans une région de l’espace, on peut le détecter par la force
fm que subit une particule chargée. Cette force
fm est aussi l’occasion de la parler de l’unité du champ magnétique :
[ B ] = [ fm ] [ q ][ v ]
M L T −^2
I T L T −^1
= M I −^1 T −^2 (4)
B s’exprimera donc en kg.A-1^ .s -2^ , on voit ainsi que la notion de courant électrique sera im- portante dans la création de champ magnétique.
Mais l’unité communément utilisé est le Tesla (T), voici quelques ordres de grandeur de champ magnétique :
- Champ magnétique terrestre : 4_._ 7 × 10 −^5 T
- Aiment permanent : 0_._ 1 T
Electromagnétisme EM15-Champ magnétique 3.3 Règle du tire-bouchon
Cette loi donne, par intégration, le champ magné- tique créé en un point M distant de r d’un courant d’intensité I circulant le long d’une ligne L :
B =
d
B =
P ∈ L
μ 0 I 4 π
dl ∧
P M
P M^3
avec μ 0 la perméabilité magnétique du vide, constante physique. On donne généralement la valeur de μ 0 ainsi : μ 0 = 4 π × 10 −^7 SI. Cette constante est relié à � 0 et c par la formule suivante : c^2 =
� 0 μ 0
dB
P
M
dl
I
L
Figure 2 – Loi de Biot et Savart
Notons que cette loi donnant l’expression du champ infinitésimal créé par une portion de circuit n’est qu’un artifice de calcul : on ne peut pas isolé une portion de circuit par- couru par un courant (alors qu’on peut isoler des charges électriques dans le cas du champ électrostatique).
3.3 Règle du tire-bouchon
Cette loi de Biot et Savart permet de savoir dans quel sens est le champ magnétique. Le trièdre formé des vecteurs
dl ,
P M et
B doit être direct. C’est la règle du tire-bouchon qui s’applique (on fait tourner le premier vecteur vers le deuxième, si ce sens de rotation est la droite, on visse le tire-bouchon, le champ magnétique est dans le sens de ce vissage).
3.4 Définition et continuité du champ magnétique
Le champ magnétique créé par un courant filiforme est continu et défini partout sauf aux points sur lesquels le ou les courants passent (des considérations mathématiques permettent de prouver cela).
4 Lignes de champ magnétique
Comme pour le champ
E si on trace des lignes orientées suivant le champ magnétique et sur lesquelles celui-ci est tangent, on obtient les lignes de champ magnétique. On appelle souvent le dessin de ces lignes un spectre magnétique. La figure 3 vous montre un spectre bien connu.
5 Le champ magnétique est un pseudo-vecteur
Contrairement au vecteur champ électrique, le vecteur champ magnétique est un pseudo- vecteur, son sens dépend de l’orientation de l’espace. Ceci provient de l’apparition d’un pro- duit vectoriel notamment dans la loi de Biot et Savart. Ce produit vectoriel est un produit de deux vrais vecteurs (vecteurs dont la direction ne dépend pas de l’orientation de l’espace).
Electromagnétisme EM15-Champ magnétique 6. Symétries et invariances
S N
B
B
Figure 3 – Spectre magnétique d’un aimant droit
On dit que l’espace est orienté dans le sens direct lorsque les trois vecteurs de sa base sont orientés dans le sens des trois doigts de la main droite (pouce : − u → (^) x , index : −→ u (^) y , majeur : −→ u (^) z ).
Ceci a une importance lorsque nous allons aborder les symétries, car un plan de symétrie transforme la base directe en base indirecte, et le vecteur champ magnétique changera de sens de part et d’autre de ce plan.
6 Symétries et invariances
Comme pour le champ électrostatique, des réflexions sur les symétries et les invariances permettent de simplifier la recherche du champ magnétique créé par une distribution de courants.
6.1 Invariances
Pour considérer celles-ci, on procède de la même manière que pour le champ électrique, on place un point M qui regarde la distribution, puis on le déplace par translation le long de la distribution ou par rotation autour d’elle. Si le point M voit la même distribution, il y a invariance et le champ magnétique au point M ne dépendra pas de la coordonnée qui "produit" l’invariance.
Electromagnétisme EM15-Champ magnétique 7. Calcul du champ par méthode intégrale
6.2.2 Plan d’antisymétrie
Prenons une distribution de courant dont on peut trouver un plan d’antisymétrie et calculons le champ magnétique en un point M de ce plan.
Si une distribution de courants admet un plan d’antisymétrie, alors le champ
B est contenu dans ce plan.
P P'
dB (^) P (^) dB (^) P'
dB
π'
dl dl'
Figure 6 – Champ magnétique et antisymétrie
On peut également montrer qu’en deux point M et M’ symétriques par rapport à un plan d’antisymé- trie de la distribution, le champ magnétique en M’ est le symétrique du champ B en M.
P
π'
dl
dB (^) M
M M'
P' dl'
dB (^) M dBdB (^) M (^) M'
Figure 7 – Champ magnétique symétrique avec un plan d’anti- symétrie Remarque Contrairement au champ
E qui possédait les mêmes symétries que ses sources, le champ
B
est antisymétrique par rapport à un plan si ce plan est un plan de symétrie pour les courants.
7 Calcul du champ par méthode intégrale
On considère un fil infiniment long parcouru par un courant d’intensité I. On cherche le champ magné- tique créé en un point M distant de r du fil. Ci-contre, voici le schéma de la situation. On utilisera les coordonnées cylindriques dans ce problème.
M
dB
e (^) r
dz P e (^) z α r
R
α
z
O I
(^) Figure 8 – Schéma de situation pour le calcul du champ magné- tique créé par un fil infini
- Symétries et invariances : Le plan perpendiculaire au fil passant par M est un plan
Electromagnétisme EM15-Champ magnétique 7. Calcul du champ par méthode intégrale
d’antisymétrie de la distribution, le champ magnétique doit être contenu dans ce plan. De plus, la règle du tire bouchon indique que le sens du champ magnétique est le même que celui du vecteur −→ eθ (la base −→ er , −→ eθ , −→ ez est directe).
Il y a invariance par rotation autour du fil et par translation suivant l’axe Oz (fil infini), le champ magnétique ne dépend que de r.
Finalement : −→ B ( M ) = Bθ ( r ) −→ eθ
- Champ magnétique élémentaire : Comme nous l’avons fait pour le champ électro- statique, nous allons calculer le champ magnétique créé par un élément infinitésimal de fil, puis nous sommerons sur l’ensemble du fil infini. D’après la loi de Biot et Savart, on a :
d
B =
μ 0 I 4 π
dl ∧
P M
P M^3
μ 0 I dz 4 π
−→ ez ∧ − P M −→ P M^3
Exprimons le produit vectoriel de cette expression : On a : (^) −−→ P M =
P O +
OM = − z −→ ez + r −→ er (7) Donc : −→ ez ∧ − P M −→ =
�� �� �� �
�� �� �� �
r 0 − z
= r −→ eθ (8)
On a aussi : cos α =
r P M
r R
⇐⇒ R =
r cos α
Et : z = r × tan α (10) dz = r × d (tan α ) (11) dz = r × (1 + tan 2 α ) dα (12) dz =
r cos 2 α dα (13)
Utilisons (8) et (13) dans (6), l’expression de la loi de Biot et Savart :
d
B =
μ 0 I r 4 π cos 2 α
r r^3 cos 3 α
dα −→ eθ (14)
⇐⇒ d
B =
μ 0 I cos α 4 πr dα −→ eθ (15)
- Intégration : Il suffit à présent de sommer de façon continue tous les champs élé- mentaires créés par les éléments infinitésimaux dl du fil infini. Les bornes d’intégration concerneront α puisque c’est le paramètre que nous avons choisi de garder.
Afin de considérer un fil infini, nous devons intégrer α de − π/ 2 à π/ 2. Mais comme la situation est symétrique de part et d’autre du point O, nous pouvons intégrer entre 0 et π/ 2 et multiplier le champ obtenu par 2.
