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T spé 2 avril 2024
Interrogation de Mathématiques n°5 sujet A
1 heure – calculatrice interdite
Exercice 1 ( 7 ,5 points)
Les questions sont indépendantes.
1) Résoudre dans les (in)équations suivantes :
( E 1^ ) : ln^ ( x^ −^4 )^ +^ ln^ ( x −^2 )=ln 3 ( ) ( )
2 2
E : 2 ln x ln 1 0 x
: ln ln 1 2
x I x
2) Déterminer les limites suivantes :
2 ln 1 ) 2
x a x
en+
ln 1( 5 ) ) 3
x b x
en 0.
Exercice 2 (4 points)
On considère la suite( )
u n définie sur par u 0 = e , et pour tout entier
naturel n , un (^) + 1 = un e un.
Soit la suite ( v n )définie sur par vn = ln ( un )+ 1.
1) Déterminer la nature de la suite ( v n ).
2) Exprimer ( v n )puis ( u n )en fonction de n.
3) Soit
0
n
n k k
S v
= . Exprimer Sn en fonction de n.
4) Montrer que pour tout entier naturel n , 0 1 2 1
Sn
n (^) n
e u u u u e
Exercice 3 (4,5 points)
Soit f , la fonction définie sur 0; + par ( ) ln 1 ( )
x f x xe
− = +.
1) a) Déterminer la limite de f en +.
b) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
2) Soit m , un nombre réel.
a) Discuter, suivant les valeurs de m , le nombre de solutions de
l’équation ( E ) : f ( x ) = m.
b) On se place désormais dans le cas où 0 m f ( ) 1. On note α et β ,
les deux solutions de l’équation f ( x )= m , avec α β.
Démontrer que
ln ln 1
β α
β α
Exercice 4 ( 4 points)
1) Déterminer une primitive sur I des fonctions suivantes.
a) ( )
4 3 4
f x x x x
= − + − I = 0 ;+
b) ( ) ( ( ))
3 2 2 ln 1 3 3
x f x x x
I =
c) ( )
x
x
e f x e
−
−
I =
2) Soit la fonction f définie sur I = − − ; 1 par ( )
2
f x x x
Déterminer la primitive de la fonction f sur I qui s’annule en ( − 1 ).
T spé 2 avril 2024
Interrogation de Mathématiques n°5 sujet B
1 heure – calculatrice interdite
Exercice 1 ( 7 ,5 points)
Les questions sont indépendantes.
1) Résoudre dans les (in)équations suivantes :
( E 1^ ) : ln^ ( x^ −^5 ) +^ ln^ ( x −^2 )^ =ln 4 ( ) ( )
2 2
E : 2 ln x 3ln 1 0 x
: ln ln 1 2
x I x
2) Déterminer les limites suivantes :
2 ln 1 ) 2
x a x
en+
ln 1( 3 ) ) 5
x b x
en 0.
Exercice 2 (4 points)
On considère la suite( )
u n définie sur par u 0 = e , et pour tout entier
naturel n , un (^) + 1 = un e un.
Soit la suite ( v n )définie sur par vn = ln ( un )+ 1.
1) Déterminer la nature de la suite ( v n ).
2) Exprimer ( v n )puis ( u n )en fonction de n.
3) Soit
0
n
n k k
S v
= . Exprimer Sn en fonction de n.
4) Montrer que pour tout entier naturel n , 0 1 2 1
Sn
n (^) n
e u u u u e
Exercice 3 (4,5 points)
Soit f , la fonction définie sur 0; + par ( ) ln 1 ( )
x f x xe
− = +.
1) a) Déterminer la limite de f en +.
b) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
2) Soit m , un nombre réel.
a) Discuter, suivant les valeurs de m , le nombre de solutions de
l’équation ( E ) : f ( x ) = m.
b) On se place désormais dans le cas où 0 m f ( ) 1. On note α et β ,
les deux solutions de l’équation f ( x )= m , avec α β.
Démontrer que
ln ln 1
β α
β α
Exercice 4 ( 4 points)
1) Déterminer une primitive sur I des fonctions suivantes.
a) ( )
4 3 4
f x x x x
= − − + I = 0 ;+
b) ( ) ( ( ))
3 2 2 ln 1 5 5
x f x x x
I =
c) ( )
x
x
e f x e
−
−
I =
2) Soit la fonction f définie sur I = − − ; 1 par ( )
2
f x x x
Déterminer la primitive de la fonction f sur I qui s’annule en ( − 1 ).
A : Au voisinage de 0 :
( )
( 1 5 ) 5 (^1 5 )
ln x ln x f x x x
( )
( )
0
0
x
X
lim x
ln X lim X
→
→
0
lim f =
B : Au voisinage de 0 :
( )
( 1 3 ) 3 ( 1 3 )
ln x ln x f x x x
( )
( )
0
0
x
X
lim x
ln X lim X
→
→
0
lim f =
_______________________________________________________________________________________
Exercice 2
On considère la suite (^) ( u n )définie sur par u 0 = e , et pour tout entier naturel n , un (^) + 1 = un e un.
Soit la suite (^) ( v n )définie sur par vn = ln (^) ( un )+ 1.
1) n , 1 ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )
ln 1 ln 1 ln ln ln 1 2 2
vn (^) + = un (^) + + = un e un + = un + e + un +
( ) ( ) ( ) (^) ( ( ) )
ln ln 1 ln ln 1 2 2 2 2 2 2 2
= un + + un + = un + = un + = vn
v 0 (^) = ln (^) ( u 0 )+ 1 = 2
Donc (^) ( v n ) est une suite géométrique de raison
q = et de premier terme v 0 (^) = 2.
2) n ,
n
vn
( ) ( )
1 ln 1 ln 1
vn vn un un vn un e
− = + = − =
3 2 1 2 ,
n
n u n e
(^) − =.
3) n ,
1
1
0
n
n n
n k k
S v
=
^
1 3 , 4 1 2
n
n S n
= ^ −
4) n , ( 0 ) ( 1 ) ( ) ( 0 1 )
0
ln 1 ln 1 .... ln 1 ln ... 1
n
n k n n n n k
S v S u u u S u u u n
= (^) = + + + + + + = + +
( ) ( )
( 1 ) ln 0 1 ... 1 0 1 ...
Sn n u u u (^) n S (^) n n u u u (^) n e
− + = − + = 0 1 1
Sn
n (^) n
e u u u e
Donc n , 0 1 2 1
Sn
n (^) n
e u u u u e
Exercice 3
1) 0; (^) , ( ) ln 1 ( )
x x f x xe
− + = +
a) Au voisinage de +, ( ) ln 1 x
x f x e
lim 1 1 x x
x
→+ e
+^ =
et ( ) 1
lim ln 0 x
X
→
=. Par composition,lim f 0 +
b) La fonction 1
x x xe
−
- est dérivable et strictement positive sur (^) 0; +.
La fonction x ln x est dérivable sur (^) 0; +.
Par composition, la fonction f est dérivable sur (^) 0; +.
(^ )
( ) 0; , ' 1
x x
x
e x e x f x xe
− −
−
donc ( )
( 1 ) 0; , ' 1
x
x
e x x f x xe
−
−
0;^ ,^0
x x e
− + et 1 0
x xe
−
- . Donc le signe de f '( x )est le signe de (^) ( 1 − x ).
x (^) 0;1 , f ' (^) ( x ) 0. Donc la fonction f est strictement
croissante sur 0;1
x (^) 1; + , f ' (^) ( x ) 0. Donc la fonction f est strictement
décroissante sur (^) 1; +.
Avec ( ) ( )
1 ln 1 ln ln 1 1
e f e e e
2) Soit m .
a) D’après le tableau de variation (et en appliquant le théorème de la bijection) :
- Si m 0 , l’équation f (^) ( x (^) )= m n’admet aucune solution.
- Si m = 0 , l’équation f (^) ( x (^) )= m admet une seule solution x = 0.
- Si 0 m f ( ) 1 , l’équation f (^) ( x (^) )= m admet deux solutions : l’une strictement comprise entre 0 et 1,
l’autre strictement supérieure à 1.
- Si m = f ( ) 1 , l’équation f (^) ( x (^) )= m admet une seule solution : x = 1
- Si m f ( ) 1 , l’équation f (^) ( x (^) )= m n’admet aucune solution.
b) 0 m f ( ) 1. On note α et β , les deux solutions de
l’équation f (^) ( x (^) )= m , avec α β.
f (^) ( α (^) ) = f (^) ( β ) ln 1( ) ln 1( )
α β αe βe
− − + = +
or ln est strictement croissante sur 0; +
α β αe βe
− −
α β
e e
β α αe = βe ln (^) ( ) ln( )
β α αe = βe ln (^) ( α (^) ) + β = ln( β (^) )+ α
ln (^) ( β (^) ) − ln( α (^) )= β − α
ln (^) ( ) ln (^) ( ) 1
β α
β α
car β − α 0
Exercice 4
Les fonctions f sont continues sur I. Elles admettent des primitives F sur I.
Sujet A Sujet B
( )
4 3 4
a ) f x x x x
* I = +
( )
5 4 3
1 3 1 2 3 10
x , F x x x x x
= − + +
( ) ( ( ))
3 2 2
x b ) f x ln x x
I =
x , ( ) ( )
( (^ ))
3 2 2
x f x ln x x
( )
( (^ )) ( (^ ))
4 4 2 2 1 1 1
ln x ln x x , F x
( )
x
x
e c ) f x e
−
−
x , ( )
x
x
e f x e
−
−
( )
x x , F x e
− = − +
( )
4 3 4
a ) f x x x x
* I = +
( )
5 4 3
x , F x x x x x
( ) ( ( ))
3 2 2
x b ) f x ln x x
I =
x , ( ) ( )
( (^ ))
3 2 2
x f x ln x x
( )
( (^ )) ( (^ ))
4 4 2 2 1 1 1
ln x ln x x , F x
( )
x
x
e c ) f x e
−
−
x , ( )
x
x
e f x e
−
−
( )
x x , F x e
− = − +
