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Évolutions
I Taux d’évolution, variation relative
Définition : Taux d’évolution
Lorsque qu’une quantité positive passe d’une valeur VD à une valeur VA , le taux d’évolution est le nombre
t =
VA − VD
VD
Remarques :
+ Le taux d’évolution s’exprime sous forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.
+ Le taux d’évolution est aussi appelé variation relative.
+ Ce taux peut être négatif : diminition ou positif : augmentation.
+ L’écart VA − VD exprime la variation absolue.
Exemple 1 : Calculer un taux d’évolution
En 2004, la population française était de 62,251 millions. En 2013, la population française était de 65,565 millions. Sources : Insee
Quel est le taux d’évolution de la population entre ces deux années?
Correction :
On effectue le calcul suivant : t =
VA − VD
VD
Le taux d’évolution de la population française entre 2004 et 2013 est donc d’environ 5,32%.
En 2016, la population française était de 66,628 millions. Calculer le taux d’évolution entre 2004 e 2016 puis entre 2013 et 2016.
II Coefficient multiplicateur
Propriété :
Lorsque qu’une quantité positive passe d’une valeur VD à une valeur VA , il existe un nombre réel t tel que :
VA = (1 + t ) × VD
+ Le nombre t est appelé le taux d’évolution de VD à VA.
+ Le nombre CM défini par CM = 1 + t est appelé le coefficient multiplicateur de VD à VA.
Remarques :
+ Le coefficient multiplicateur simplifie le calcul lors d’une évolution.
+ Si le coefficient multiplicateur CM est supérieur à 1, il s’agit d’une augmentation.
+ Si le coefficient multiplicateur CM est inférieur à 1, il s’agit d’une diminution.
Exemple 2 : Utiliser un coefficient multiplicateur
Une ville a une population de 3500 habitants en 2012. Entre 2012 et 2015, sa population augmente de 5%. Caluler sa population en 2015.
Correction : Pour accélérer le calcul, on utilise le coefficient multiplicateur : CM = 1 + 5% = 1 + 0, 05 = 1, 05 On obtient la valeur finale en multipliant la valeur initiale par ce coefficient : 3500 × 1, 05 = 3675 En 2015, la population de cette ville est donc de 3675 habitants.
+ Pour calculer une augmentaion de 5% , il suffit de multiplier par 1,
+ Pour calculer une diminution de 3% , il suffit de multiplier par 0,
Dans cette ville, la population a diminué de 5% entre 2015 et 2016. Calculer sa population en 2016.
III Évolutions successives
Propriété :
Pour deux évolutions successives de coefficient multiplicateur CM 1 et CM 2 , l’évolution finale a pour coefficient multiplicateur global : CM 1 × CM 2. Le taux d’évolution global est donc : T = CM 1 × CM 2 − 1.
V 0 V 1 V 2
CM 1 CM 2
CM 1 × CM 2
Remarque :
Le taux d’évolution global ne dépend pas de l’ordre des évolutions successives. Par exemple, une augmentation de 10% suivie d’une baisse de 15% est identique à une baisse de 15% suivie d’une augmentation de 10%.
Exemple 3 : Calculer un taux global d’évolution
Le prix d’un article, qui coûte initialement 38 euros, subit une baisse de 30% suivie d’une baisse de 20%. Calculer le taux d’évolution global de cet article.
Correction :
Calculons le coefficient multiplicateur de la première baisse : CM 1 = 1 − 0, 30 = 0, 70 Pour la deuxième baisse : CM 2 = 1 − 0, 20 = 0, 80
Le coefficient multiplicateur global est donc : CM = CM 1 × CM 2 = 0, 7 × 0, 8 = 0, 56
Ainsi, le taux d’évolution global est : T = 0, 56 − 1 = −0, 44. Cela correspond à une baisse de 44%.
On constate dans l’exemple précédent que le pourcentage d’évolution correspondant à deux baisses successives n’est pas la somme des deux pourcentages de baisse (ce n’est pas 50%...). Cela vient du fait que les deux baisses ne portent pas sur le même prix.
- Calculer le prix final de cet article.
- Si le prix de cet article subit ensuite une hausse de 40%, quel sera alors le taux d’évolution global?
Méthodes : Évolutions et pourcentages
Durant l’année 2014, certains articles subissent une hausse de 12% puis une baisse de 4%.
Exemple 1 : Calculer un coefficient multiplicateur
Quels sont les deux coefficients multiplicateurs en jeu?
Exemple 2 : Calculer avec un prix après une évolution
Début 2014, l’article coûte 324 euros. Quel serait le prix d’un article après la première hausse?
Exemple 3 : Calculer un coefficient après deux évolutions successives
Par quel nombre est multiplié le prix d’un article du début 2014 à la fin 2014?
Exemple 4 : Calculer avec un prix après une évolution
Début 2014, l’article coûte 453 euros. Quel serait le prix d’un article à la fin de l’année?
Exemple 5 : Revenir au prix de départ (évolution réciproque)
Á la fin de l’année 2014, un article coûte 236 euros. Quel était son prix début 2014?
Exemple 6 : Calculer un taux d’évolution (évolution réciproque)
En janvier 2015, on souhaite que tous les articles retrouvent leur prix initial de début 2014. Quel doit être le nouveau taux d’évolution? (On donnera aussi le coefficient multiplicateur.)
Exemple 7 : Utiliser une formule dans un tableur
Sur cette feuille de calcul, on voudrait afficher :
+ dans la colonne A les années successives jusqu’en 2017
+ dans la colonne B les populations successives d’une ville
qui comptait 100 000 habitants en l’an 2000 ; on suppose que cette population augmente de 0, 5% par an jusqu’en
Quelles formules doit-on entrer en A 3 et en B 3 et recopier vers le bas?
