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ULP Département de Mathématiques Strasbourg, le 25 janvier 2005 LICENCE DE MATHÉMATIQUES Calcul Différentiel Durée : 3h Responsable : Hubert Rubenthaler Aucun document, aucune calculette, aucun téléphone ne sont autorisés. I On considère l'application 4 : R? — R? définie par x 3) 0). 1) Montrer que 4 est de classe C®, calculer la jacobienne de & et montrer que g'(x, y) est inversible pour tout (x, y) € R°. 2) En déduire que w est un C'®-difféomorphisme local de R? sur w(R?) et que l'image w(R?) est ouverte. 3) Montrer que est injective (on pourra utiliser l'égalité sin(#1) — sin(%) = (ui — u2)} cos(#) pour un certain u tel que u1 < u < w2). 4) a) Montrer que l'image w(R?) est fermée. (Indication : montrer que si (zn,un) converge vers (@, 5) alors les suites x. et y. sont bornées). Æ b) En déduire que w est un C®-difféomorphisme de R? sur R?. Ce#%""t 5) Soit (u,v) = (x, y). Calculer &7l'{u,v) en fonction de w'(x,y). 6) En déduire que [[w=2'(u,v)|| est bornée pour (u, v) parcourant R?, puis que 67 est lipschitzienne. la, y) = (sin(?) - x, sin( 1 II Soit Q un ouvert de R". On désigne par C'©(() l’espace vectoriel des fonctions f: A — R qui sont de classe C'®. Si f,g € C(Q) on désigne par f.g la fonction produit définie pour + € ( par f.g(x) = f(x)g(x). On rappelle que f.g € C®(Q). 1) Calculer (f.g)'(x)(k) pour tout x € 9 et tout hk € R'. 2) Une application linéaire D : C®(N) — C®(Q) est appelée dérivation si Vf,g € O®(0), Df.à=(Dfa + 1{Dg Montrer que si D est une dérivation on a nécessairement D1 = 0 (où 1 désigne la fonction constante égale à 1 sur () et qu'en conséquence D s'annule sur toute fonction constante. (Indication : 1=1,1) sl TOVE 
