Exercices de mathématique et physique 9, Exercices de Mathématiques

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. Comme à + Com: . Si F conties Concours Mathématiques et Physique Correction de l'Epreuve de Mathématiques IT ient 1. De plus, si & € N° kerN, NU # 0 et donc ble en question coi avec NX = 0 alors k majore l'ensemble Le plus grand élément de L'ensemble {& € N° #0}, dant l'existence à été justifiée dans la Question 1, répond à la question et À commutent, ker M est ker N admet un supplé ble par À. Or, 4 est semi-simple et donc, étant ere F dans ©" stable par A stable par Ceci découle également du fait que F est stable par À et que N est un palynôme en À D € ©" non nul alors DE ker N ct donc, d'après la Question 2, Il existe VU € kerN, Or, comme U € Fet F est stable par N ÆEnkerN = {0}. Contradiction. m € N° tel que NU 0e NU € E, On obtient D #£ N°4 D'aprés la Question 5, F = {0} ct done kor NC, Il vient que N = 0 et À = D. I - Trace et Nilpotence Ceri déroule directement du fai qu'une matrice nilpatenté n'a que D comme valeur propre da) Soit pE€ Net g € N°. On a AN = NA. En outre, si m € N° avec N° 2 0 alors qu € N° et donc N% = 0. L vient que (APNI)" = APM NM = {b) Soit & € N°. Puisque AN = NA;one x gi Dé= (A NY œ SOC GANT AE où AE D DE (1) AN ri = Or, si 3€ {0,..k — 1}, la matrice A'NE-{ est nilpotente (Question 2. 4) } D'où Tr AINE*) = 0 pour tout à € {0 &— 1}. Par suite, (28) = mat) + Su tr (ain = ar (ar) = 0 docsity.com