Classe : BTS 2 Probabilité conditionnelle
Exercice 1 :
Dans une usine fabriquant des perceusesélectr iques, une étude statistique permet de constater que les perceuses présentent
principalement deux défauts D1et D2et conduit à dégager les résultats suivants :
La probabilité qu’une perceuse présente le défaut D1est de 0,005.
La probabilité qu’une perceuse présente le défaut D2est de 0,01.
Les événements D1et D2ne sont pas indépendants et la probabilité de D1sachant D2est de 0,25.
On prend une perceuse au hasard. Calculer les probabilités des événements suivants :
a) La perceuse présente les deux défauts.
b) La perceuse présente au moins un défaut.
c) La perceuse ne présente aucun défaut
Exercice 2 :
Une entreprise est spécialisée dans la vente de câbles métalliques. Ces câbles proviennent de deux fournisseurs A et B, dans
les proportions de 60% et 40%, qui livrent l’un et l’autre deux catégories de produits désignés par C1et C2. Dans les livraisons
de A figurent 50% de câbles C1et 50% de câbles C2; dans celles de B figurent 20% de câbles C1et 80% de câbles C2. Sans
distinction de provenances et de catégories, ces câbles sont proposés à la vente.
On désigne par A∩C1l’événement " un câble pris au hasard dans le stock de vente provient de A et il est de la catégorie C1".
a) Calculer la probabilité de cet événement A∩C1puis celle de l’événement B∩C1.
En déduire la probabilité, notée p(C1), qu’un câble pris au hasard dans le stock de vente soit de la catégorie C1?
b) Un câble est pris au hasard ; on constate que c’est un câble de la catégorie C1.
Quelle est la probabilité qu’il provienne du fournisseur B ?
Exercice 3 :
( Bréal p 40 ) Trois usines A, B et C fournissent respectivement 25%, 35% et 40% des carreaux nécessaires à une entreprise de
construction. Dans leurs livraisons, il y a en moyenne 5, 4 et 2% de carreaux inutilisables.
Un carreau est choisi au hasard dans un stock important, ce carreau est défectueux.
a) Quelle est la probabilité qu’il soit défectueux ?
b) Quelles sont les probabilités Prob(A/D), Prob(B/D) et Prob(C/D)qu’il provienne des usines A, B ou C ?
Exercice 4 :
On a observé que 2% des micros-ordinateurs d’un type donné tombaient en panne par mois d’utilisation. On suppose que
les pannes sont indépendantes.
On note X la variable aléatoire associant le nombre mensuel de pannes prévisibles d’un parc de 150 machines. ( On assimilera
les choix des 150 machines à un tirage avec remise ).
1. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer à 10−3la probabilité des événements suivants :
A : " Le nombre mensuel de pannes est de 5 " B : " Le nombre mensuel de pannes est au plus égal à 3 ".
2. On admet que le la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson. Donner le paramètre de cette loi
a) Calculer à 10-3 près la probabilité des événements A et B. de la question 1.
b) Déterminer le nombre minimal N tel que la probabilité de l’événement" Le nombre de pannes est au plus N" soit supérieur
à 0,99.
Exercice 5 :
Un rayon laser est dirigé vers une cible difficile à atteindre. D’une statistique préalable, on déduit que la probabilité pour que
ce rayon atteigne la cible est 0,01. On fait l’expérience qui consiste à émettre nfois le rayon laser, les émissions étant deux à
deux indépendantes et ayant même probabilité d’atteindre la cible.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où la cible est atteinte par le rayon laser au cours de cette expérience.
1. Déterminer la loi de probabilité suivie par X . Dans le cas où n=300, calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de
cette loi.
2. Pour une expérience avec un nombre nd’essais, n≥50 , on admet qu’il est légitime d’approcher la loi de probabilité de X
par une loi de poisson.
a) Donner en fonction denle paramètre λde cette loi de poisson.
b) On estime que l’expérience est concluante lorsque le rayon laser atteint au moins 3 fois la cible. Donner les valeurs de X
correspondant à l’événement " expérience non concluante ", et exprimer la probabilité de cet événement en fonction de λ.
c) Soit fla fonction définie pour xpositif ou nul par : f(x)=e−x(1 +x+x2
2). Etudier les variations de fet calculer f(6, 1);f( 6,2); f(6,3).
d) En utilisant les résultats de la question 2.c), donner un nombre n0d’essais à partir duquel la probabilité de l’événement "
expérience concluante " est strictement supérieure à 0,95.
Exercices de Probabilité BTS 2 - corrigé
