Exercices de sciences et technologie, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Université d’Artois

Faculté Jean Perrin

LENS

Licence Sciences et Technologie

Premier Semestre

UC

Année 2006-

Licence Sciences et Technologie Semestre 1

TD de UC3. Année 2006-

Fiche 1

Exercice 1:

Un câble de 20 m de long est tendu entre le sommet

d'un poteau vertical et le sol horizontal.

Il forme un angle de 40° avec le sol ( voir schéma ).

Calculer la hauteur du poteau.

Exercice 2:

Compléter le tableau de correspondance entre mesures en degrés et mesures en radians.

Degrés 3 10 12 18

Radians

20

Exercice 3:

Sans se servir de la calculatrice, mais à l’aide des valeurs remarquables et des règles usuelles

de calcul, donner la valeur exacte des sinus, cosinus et tangente des nombres suivants :

43 513 - , , 6 3 4

Exercice 4:

Simplifier l’expression suivante :

cos sin sin cos 2 2 2 2

x x x x

 +^  −^  −^  +^  +^  −^  + 

Exercice 5 :

Soit x un nombre réel, 0 ≤ x ≤ π. On suppose que :

cos 7

x

=. Sans chercher à trouver x

calculer sin x et tan x.

Exercice 6 :

Soient a et b deux nombres réels tels que :

a k k b k k a b k k

1. Démontrer que

tan tan tan( ) 1 tan tan

a b a b a b

1. En déduire la valeur exacte de

tan 12

Licence Sciences et Technologie Semestre 1

TD de UC3. Année 2006-

Fiche 3

Exercice 1:

On donne

2006 1 3 . 2 2

u i

Calculer u.

Exercice 2:

On donne z = (^) ( 1 + i )

4 et z ' = (^) ( 3 − i ).

3

. Ecrire une forme trigonométrique du complexe Z tel

que Z = z / z' , puis sa forme algébrique.

Exercice 3:

Calculer cos 3 α et sin 4 α en fonction de cos α et sin α , avec α ∈
.

Exercice 4:

Linéariser

2 2 4

cos α , sin α , sin α (α ∈
).

Exercice 5:

Résoudre les équations dans IC :

2 2

1. z = 7 2) z = −3.

Exercice 6:

Chercher les racines carrées de i et de 5 − 12 i.

Licence Sciences et Technologie Semestre 1

TD de UC3. Année 2006-

Fiche 4

Exercice 1:

Soit l'application

2

f

z z z

a

1. Résoudre dans IC l'équation f ( z ) = 0.

2. Ecrire f ( z ) sous forme d'un produit de facteurs.

Exercice 2:

Déterminer les racines cubiques de u

i

Exercice 3:

1. Ecrire le nombre complexe 8 i sous forme trigonométrique.

2. Déterminer les racines cubiques (complexes) de 8 i. On écrira les solutions sous forme

trigonométrique puis sous forme algébrique.

Exercice 4:

Résoudre dans IC l’équation : ( 3 + i ) z

2

• ( 1 + 2 i ) z + ( 1 + 2 i ) = 0

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TD de UC3. Année 2006 - 2007

Fiche 6

Exercice 1:

Déterminer l'ensemble de définition, les asymptotes éventuelles et la position de la courbe par

rapport aux asymptotes de la fonction

2 1 : 1

x x f x x

a.

Exercice 2:

Soit

2 f : x a 2 x + x.

1. La fonction f est-elle continue en 0?

2. La fonction f est-elle continue sur
   ?

Exercice 3:

Etudier les variations de f x : → 2 x + 5 x − 4

3 définie sur
. En déduire que l'équation

3 x + x − = 0 admet une racine et une seule x 0 appartenant à (^) ] 0 , (^1) [. Donner une valeur

approchée de x 0 à 10

− 2 prés par défaut.

Exercice 4:

Soit f la fonction définie par f x : → 5 x + 3 x − 1.

2 Etudier la dérivabilité de f en 1.

1. Déterminer l'ensemble de définition D.

2. f est-elle continue sur D?

3. Etudier la dérivabilité de f en 1.

4. Etudier la tangente en M^ 0 ( 1 , 5 ).

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TD de UC3. Année 2006-

Fiche 7

Après avoir déterminé l’ensemble de définition et l’ensemble de dérivabilité, calculer la

dérivée de chaque fonction f définie par :

( )

( )

( )

( )

2 2

2

3 2

2 2

sin

1. ( ) 1 cos

2. ( ) tan(2 1)

f x x x

x f x x

f x x

f x x x x

f x x x

f x

x x

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TD de UC3. Année 2006-

Fiche 10

Exercice 1 :

Simplifier les expressions suivantes :

2 A = 2 ln 4 −ln(4 e )

4 2 1 ln 2 ln(2 ) 4

x e x B e

Exercice 2 :

Comparer, sans calculatrice, les réels

3 a = ln( e ) − 2 et b = ln( e e )..

Exercice 3 :

Résoudre l’inéquation, d’inconnue n entier naturel :

2

n

10 3

^ ≤

n   ≥    

Exercice 4 :

Après avoir déterminé son ensemble de définition, résoudre l’équation suivante :

a) ln 3 x − 1 + ln x − 1 = ln( x −2)

b)

ln 2 ln(3 ) ln 1. 2

x = − x − x +

Idée : se ramener à une équation de la forme ln( ( )) u x = ln( ( )) v x , où u et v sont des

polynômes.

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TD de UC3. Année 2006-

Fiche 11

Exercice 1 :

Simplifier les expressions suivantes :

2 ln 8

3 ln 4

e a e

= (^ )^ (^ )

2 x^3 x^6 b e e

−

( )

4

2

x

x

e c

e e

2

0,

x d

x x

Exercice 2 :

Résoudre l’équation ou l’inéquation proposée, d’inconnue x réel :

a )

x^2 x e e

− = b )

3 21 1

x e

− ≥ c )^

3 0

x e

− ≤

Exercice 3 :

Préciser l’ensemble sur lequel les fonctions suivantes sont dérivables, et calculer leur dérivée :

1. f (^) ( x (^) ) = ln ln( x ) 2) (^) ( )

ln 1

x f x x

1. (^) ( )

1 x f x = x

Exercice 4:

Soit la fonction f , définie sur
par (^) ( )

(^2 ) .

x

f x = e x +

a) Rechercher les asymptotes à la courbe f

C de f.

b) Déterminer l’équation de la tangente à f

C au point J(0,1).

c) Etudier les variations de f.

d) Tracer f

C , sachant que e 2 1648

1 ≈ , et e 2 0606

1 ≈ ,

− .