Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Montréal et New-York juin 1969 \
Déterminer les entiers relatifs ntels que l’entier
5N=n2−3n+6
soit divisible par 5.
EXER CIC E 2
Calculer les racines carrées du nombre complexe
z=1+4ip5.
Préciser le module de ces racines et donner des valeurs approchées de leurs argu-
ments.
EXER CIC E 3
Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé xOy. On désigne par E l’ensemble
des points de (P) n’appartenant pas à la droite Ox.
Au point Mde E, de coordonnées xet y, on fait correspondre le point M′de (P), de
coordonnées x′et y′, obtenu de la manière suivante.
M′est le point d’intersection de la droite perpendiculaire en O à OMet de la droite
parallèle à Oymenée par M. Cette correspondance est une transformation ponc-
tuelle, qu’on désigne par T.
1. Montrer que la restriction de Tà l’ensemble des points de E d’abscisse non
nulle est involutive et que
x′=x2et y′=−x2
y
2. Soit (∆) une droite parallèle à Oy. Quel est l’ensemble de points décrit par M′
quand Mdécrit l’intersection de E et de T?
Soit M′′ le symétrique de M′par rapport à la droite Ox. Montrer que les cercles
de diamètre MM′′ restent orthogonaux à un cercle fixe et appartiennent à un
faisceau, que l’on précisera.
3. Soit (D) une droite strictement parallèle à O x.
Quelle est la transformée de (D) ?
Soit Mun point de (D). On désigne par L le point défini par
−−−→
OM+−−−→
OM′=−−→
OL.
Montrer que L décrit une parabole, (P1), dont on précisera le foyer et la tan-
gente au sommet. Écrire l’équationde la tangente en L à (P1)et montrer qu’elle
passe par M.
4. Soit mun paramètre réel et (κm)la droite d’équation
y=−(m x +m+2).
Montrer que les droites (κm)passent par un point fixe.
Utiliser ce résultat et la transformation Tpour montrer que les courbes (Γm)
d’équation cartésienne
