Fiche d’Exercices de Trigonométrie
Exercices de Trigonométrie
1. Déterminer les réels ztels que cos(z) = −1
2et sin(z) = √3
2.
2. Calculer les valeurs exactes des expressions suivantes : cos 538π
3,sin 123π
6,tan −77π
4.
3. Sachant que cos(z) = −4
5, calculer cos(z−π),cos(−z−π),cos(z−2π), et cos(−z−2π). Si
de plus π≤z≤2π, calculer sin(z)et tan(z).
4. Démontrer les formules de trigonométrie suivantes :
(a) 1−cos x
sin x= tan x
2,
(b) sin x−π
3+ sin x+π
3= 0,
(c) 1−tan x
1+tan x= tan π
4−x.
5. Démontrer la formule d’addition pour la tangente tan(a+b) = tan a+tan b
1−tan atan bet en déduire que
pour z=π
4+kπ,tan π
4−z+ tan π
4+z=2
cos(2z).
6. Simplifier sin(p)−sin(q)
cos(p)+cos(q)et en déduire tan p−q
2.
7. Déterminer la valeur de cos π
12 et sin π
12 .
8. Calculer tan π
8.
9. Soit z=x+π+ 2kπ, poser t= tan z
2, et démontrer que cos(z) = 1−t2
1+t2,sin(z) = 2t
1+t2, et
tan(z) = 2t
1−t2.
10. Démontrer que pour tout n≥1et tout x∈R,|sin(nx)| ≤ n|sin(x)|.
11. Résoudre dans Rles équations suivantes :
(a) sin x=1
2,
(b) tan x=√3,
(c) cos x=−1,
(d) sin(3x) = 1,
(e) cos(4x) = −2.
12. Résoudre les équations trigonométriques plus difficiles :
(a) cos x=√3
2+ 1,
(b) cos 2x+ sin x= 1 + tan x.
13. Résoudre les inéquations trigonométriques suivantes sur les intervalles appropriés :
(a) sin x≥1
2,
(b) cos(2x)≥1
2.
14. Déterminer les ensembles de réels xvérifiant les systèmes suivants :
(a) (2 cos x−sin x=√3 + 1
2,
cos(2x) + 2 sin(2x) = √3
2−1.
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