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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Amérique du Sud \
novembre 1994
EXERCICE 1 points
On considère la suite ( un ) n ∈N à termes positifs, telle que u 0 = 5 et vérifiant pour tout entier naturel n :
un + 1 =
un + 12.
1. Montrer que, pour tout entier naturel n , un > 4.
2. On se propose, dans cette question, d’étudier de deux manières la conver- gence de cette suite. Partie A - Première méthode :
a. Montrer que la suite est décroissante. b. Déduire de ce qui précède que la suite est convergente, puis trouver sa limite.
Partie B - Deuxième méthode :
a. Montrer que, pour tout entier naturel n , un + 1 − 4 6
( un − 4).
b. Montrer que, pour tout entier naturel n , 0 6 un − 4 6
4 n^
c. En déduire que la suite converge et trouver sa limite.
EXERCICE 2 points
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
. L’unité
graphique est 4 cm. À tout point M d’affixe z non nulle, on associe le point M ′^ d’affixe z ′^ telle que
z ′^ = −
z
où z^ désigne le nombre complexe conjugué de^ z.
1. a. Déterminer une relation entre les arguments de z et de z ′. b. En déduire que les points O, M et M ′^ sont alignés. 2. Démontrer que z ′^ + 1 =
z
( z − 1). On nomme A et B les points d’affixes respectives 1 et −1. On désigne par C le cercle de centre A contenant le point O et par P ⋆^ le cercle P privé du point O.
3. On suppose dans cette question que le point M appartient à P ⋆. a. Justifier l’égalité : | z − 1 | = 1. Démontrer que
∣ z ′^ + 1
∣ z ′
∣. Interpréter géométriquement cette égalité. b. Déduire de ce qui précède une construction géométrique du point M ′^ à partir du point M.
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
4. Le point M étant un point du plan, d’affixe z non réelle, on nomme M 1 son symétrique par rapport à l’axe des réels.
a. Calculer
z ′^ + 1 z ′^ − 1
en fonction de z.
Exprimer alors l’argument de
z ′^ + 1 z ′^ − 1
en fonction de l’angle
M 1 A ,
M 1 B
b. Comparer les angles
M 1 A ,
M 1 B
et
M A ,
M B
c. Démontrer que M ′^ appartient au cercle circonscrit au triangle A M B.
PROBLÈME points
Question préliminaire :
On admet que, pour tout nombre réel x strictement positif : e x^ > x + 1 et ln x 6 x − 1
où ln désigne la fonction logarithme népérien. En déduire que, pour tout x strictement positif,
e x^ − ln x > 2. (1)
Partie A - Étude d’une fonction
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
{ f ( x ) =
x e x^ − ln x
si x > 0 f (0) = 0.
On désigne par C la représentation graphique de f dans le plan rapporté à un repère
orthonormé
O,
ı ,
; (unité graphique : 4 cm).
1. Montrer que f est continue en 0. Étudier la dérivabilité de f en 0. 2. Déterminer la limite de f en +∞.
On pourra écrire f ( x ) =
e x x −^
ln x x
Interpréter graphiquement ce résultat.
3. On désigne par g la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
g ( x ) = e x^ − ln x − x e x^ + 1. a. Déterminer la limite de g en 0. Déterminer la limite de g en +∞ (on pourra mettre e x^ en facteur dans l’expression de g ( x ). Étudier le sens de variation de g et dresser son tableau de variation. b. Démontrer que l’équation g ( x ) = 0 admet une unique solution α. Justi-
fier l’encadrement : 1,23 6 α 6 1,24 (2).
c. Étudier le signe de g ( x ) lorsque x décrit l’intervalle ]0 ; +∞[.
4. a. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation.
b. Démontrer que f ( α ) =
e α^ − (^1) α
En utilisant l’encadrement (2) du réel α , déterminer un encadrement de f ( α ). En déduire que 0,38 est une valeur approchée de f ( α ) à 10−^2 près.
5. Tracer la courbe C et préciser ses tangentes aux points d’abscisses respectives 0 et α.
Amérique du Sud 2 novembre 1994
