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MATHÉMATIQUES, durée : 1h
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Exercice 1
On suppose que a, b sont des nombres réels > 0 fixés. Donner pour les fonctions f suivantes
- le domaine de définition D (^) f (l’ensemble des nombres réels x pour lesquels f (x) a un sens)
- la dérivée f 0 (x) en tout x de D (^) f où elle existe
- la limite de f^ (x)x^ quand x +∞ lorsqu’elle existe
a) f (x) = 1 a + bx
b) f (x) = ln(a + e b^ x^ )
Exercice 2
On suppose que a, b sont des nombres réels > 0 fixés. Résoudre en l’inconnue x les équations ou inéquations suivantes a) b ≥ (ax + b ) 2
b) be bx^ > a + e bx
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Exercice 3
Un joueur dispose d’un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et de trois urnes U 1 , U 2 , U 3 contenant chacune n boules indiscernables au toucher. L’entier n est supposé ≥ 3. Il y a une boule noire dans U 1 , deux boules noires dans U 2 et trois boules noires dans U 3 , les autr es boules sont blanches. Le jeu se déroule ainsi : Le joueur lance le dé S’il obtient 1,2 ou 3 il prend au hasard une boule dans U 1 , note sa couleur et la remet dans U 1 S’il obtient 4 ou 5 il prend au hasard une boule dans U 2 , note sa couleur et la remet dans U 2 S’il obtient 6 il prend au hasard une boule dans U 3 , note sa couleur et la remet dans U 3. On note A, B, C, D les événements suivants : A : le dé amène le numéro 1,2 ou 3 B : le dé amène le numéro 4 ou 5 C : le dé amène le numéro 6 D : la boule tirée est de couleur noire.
a) Déterminer la probabilité d’obtenir une boule noire, en fonction de n. b) Quelle est la probabilité que le dé ait amené le numéro 6 sachant que la boule tirée est noire? c) Le joueur joue trois parties, sans relation entre les parties. Quelles valeurs peut on donner à l’entier n pour que la probabilité d’obtenir trois boules noires soit inférieure à (^1)? 1000
Exercice 4
On considère la suite (u (^) n ) de nombres réels définie par a) Montrer que pour x ≥ 21 /^3 on a 21 /^3 ≤ f (x) ≤ x. b) Montrer que pour tout entier n ≥ 0 on a 21 /^3 ≤ u (^) n+1 ≤ u (^) n. c) Comment se comporte la suite (u (^) n ) quand n tend vers l’infini?
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