[Baccalauréat C groupe 2 1juin 1981 \
EXER CIC E 1 4 POINTS
1. En utilisant l’algorithme d’Euclide :
a. Montrer que 1 981 et 1 815 sont premiers entre eux.
b. Déterminer deux entiers relatifs aet btels que 1981a+1815b=1.
2. En déduire que dans Z/1981Z,1 815 admet un inverse que l’on déterminera.
3. Résoudre alors dans Z/1981Zl’équation 1 815x+1 515 =732.
N.B.- ndésigne la classe de l’entier ndans l’ensemble Z/1981Z.
EXER CIC E 2 4 POINTS
Soit Pun plan affine euclidien rapporté au repère ³O, −→
ı,−→
´orthonormé direct.
Soit fl’application de Pdans Pqui à tout point Mde coordonnées (x;y) dans le
repère ³O, −→
ı,−→
´, associe la point M′de coordonnées ¡x′;y′¢tel que
x′=1
2x+p3
2y
y′=p3
2x+1
2y
1. a. Montrer que fest bijective et déterminer l’ensemble des points inva-
riants par f.
b. Déterminer l’ensemble des points Mde Ptels que O, M,M′soient ali-
gnés.
2. On désigne par M1et M2les projections orthogonales du point Mrespective-
ment sur les droites ³O, −→
ı´et ³O, −→
´. Montrer que M′est le transformé de M1
dans une rotation de centre M2dont on déterminera une mesure de l’angle.
PROB LÈM E 12 P OIN TS
Partie A
Pour tout entier naturel n, non nul, on considère la fonction fndéfinie sur [0 ; +∞[
par
fn(x)=½xnlogxsi x>0
0 si x=0.
1. Étudier les fonctions f1et f2et construire leur représentation graphique res-
pective (C1)et (C2)dans un repère orthonormé du plan ³O, −→
ı,−→
´(on pren-
dra 4 cm pour unité de longueur). Préciser la position relative de (C1)et (C2).
2. Prouver que, pour tout n,fnest intégrable sur [0 ; 1]. On définit, alors, la suite
(un)n∈N⋆par
∀n∈N⋆,un=Z1
0fn(x)dx.
3. a. À l’aide d’une intégration par parties, déterminer une primitive de fnsur
]0 ; 1].
1. Amiens
