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[ Baccalauréat C Aix-Marseille septembre 1980 \
EXERCICE 1
On considère un dé cubique dont les faces portent les nombres (−2), (−2), 1, 1, 1, a. Chaque face a la même probabilité d’apparition.
1. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque lancer du dé fait corres- pondre le nombre apparu. Donner la loi de probabilité p de X, suivant les va- leurs de a. Déterminer l’espérance mathématique de X ; pour quelle valeur de a est-elle nulle? 2. Dans cette question on suppose que a = 1 ; on lance le dé trois fois de suite et on désigne par Y la variable aléatoire qui à chaque épreuve fait correspondre la somme des trois nombres apparus. Déterminer la loi de probabilité q de Y. Déterminer la fonction de répartition de Y.
EXERCICE 2
Soit z 0 , z 1 , z 2 les racines dans C de l’équation g ( z ) = 0 avec
g ( z ) = z^3 − 10i z^2 − 4(3 − 4i) z + 40(4 + 3i).
1. Sachant que z 0 est imaginaire pur ( z 0 = ie x^ , e x^ ∈ R), déterminer f ( z ) telle que ( z − z 0 ) f ( z ) = g ( z ). En déduire le calcul de z 1 et z 2 (on notera z 1 celle des racines qui a sa partie réelle positive). 2. On désigne par M 1 , M 2 et M 3 les images respectives dans le plan complexe de z 0 , z 1 et z 2. a. Déterminer l’affixe de l’isobarycentre du triangle M 0 M 1 M 2. b. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe S qui laisse M 0 invariant et telle que M 2 = S ( M 1 ).
PROBLÈME
Partie A
On rapelle que l’ensemble M 2 des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels, muni de l’addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel sur R, le même ensemble muni de l’addition et de la multiplication des matrices est un anneau unitaire ; on notera e et 1 respectivement la matrice nulle et la matrice unité.
1. Étant donné l’élément A =
de M 2 , on considère l’ensemble
E =
M / M ∈ M 2 , ∃( a , b ) ∈ R^2 , M = a A + b I.
a. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M 2 dont une base est (A, I). b. Vérifier que A^2 = −A + 2I ; en déduire que la multiplication est une loi de composition interne dans E et que E muni de l’addition et de la mul- tiplication des matrices est un anneau commutatif unitaire, que A est inversible et que A−^1 appartient à E.
Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.
2. a. Vérifier que dans E l’équation X 2 = X admet quatre solutions, la matrice nulle θ , la matrice unité I, et deux autres matrices P et Q que l’on expri- mera dans la base (A, I). On désignera par P celle qui est de la forme k (A - I), k ∈ R. Vérifier que PQ = QP = θ et que P + Q = I. Déterminer les coefficients des matrices P et Q. b. Démontrer que (P, Q) est une base de E. Comment s’expriment I, A, le produit des matrices M = α P + β Q et M’ = α ′P + β ′Q, la matrice M n^ dans cette base. c. Démontrer que M = α P + β Q est inversible si, et seulement si, αβ 6 = 0. Exprimer alors M−^1 dans la base (P, Q). 3. Démontrer que dans E l’équation X^2 = I admet quatre solutions I, −I et deux autres solutions S et −S que l’on exprimera dans la base (P, Q). Déterminer les coefficients des matrices S et −S. 4. Soit π un plan vectoriel muni d’une base
ı ,
et soit g l’endomorphisme
de π dont la matrice dans cette base, est G =
P +
Q.
V 0 étant un élément de π et, ∀ k ∈ N,
Vk + 1 = g
Vk
, on pose
−−→ Wk =
∑^ n k = 0
Vk.
Calculer les coordonnées un et vn de
Wn en fonction de x 0 et y 0 , coordonnées de
V 0 , et de n. Quelles sont les limites de un et vn lorsque n tend vers l’infini.
Partie B
On rappelle que l’ensemble F des applications de R vers R muni de l’addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel de R. On considère les deux éléments de F , u et v définis par
∀ x ∈ R, u ( x ) = e−^
x (^2) , v ( x ) = − x e−^ x (^2).
1. On considère l’ensemble
E =
f ∈ F , ∃( α , β ) ∈ R^2 , f = αu + βv
a. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de F dont une base est ( u , v ). b. On note d et l les applications définies par
∀ f ∈ E , d ( f ) = f ′^ fonction dérivée l ( f ) = f ′^ + βv si f = αu + βv. Montrer que d et l sont des endomorphismes de E , dont on déterminera les matrices respectives D et L dans la base ( u , v ).
Vérifier que L =
· D. En déduire D −^1 , puis que tout élément de E admet une primitive dans E.
2. a. Étudier les variations de la fonction f , élément de E définie par
∀ x ∈ R, f ( x ) = (1 − x )e−^
x (^2).
Tracer sa courbe représentative dans un plan affine euclidien P rapporté à un repère orthonormé
O,
ı ,
Aix-Marseille 2 septembre 1980
