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[ Baccalauréat C Lyon septembre 1977 \
EXERCICE 1 3 POINTS
Soit f la fonction de R dans R définie par :
f ( x ) = x (1 − Log | x |).
1. Étudier ses variations. 2. Construfire sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère ortho- normé. 3. Calculer l’aire de la partie de R × R définie par {
1 6 x 6 e
0 6 y 6 f ( x )
e étant la base des logarithmes népériens.
EXERCICE 2 3 POINTS
Un plan affine euclidien orienté est rapporté à un repère orthonormé direct
O,
ı ,
On considère, l’application f qui, à tout point M ( x ; y ), fait correspondre le point M ′^
x ′^ ; y ′
défini par : { x ′^ = x − y
p 3 +
p 3 y ′^ = x
p 3 + y +
p
Démontrer que f est une similitude et déterminer les éléments caractéristiques de f.
PROBLÈME 12 POINTS
Les parties B et C sont indépendantes l’une de l’autre.
Soit M l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels muni de sa structure d’espace vectoriel sur R et de sa structure d’anneau unitaire.
Partie A
1. On considère la matrice J =
. Calculer son carré. 2. On désigne par I la matrice
et on considère l’ensemble F des matrices de la forme A = α I + βJ où α et β sont des nombres réels.
3. a. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M , et que (I, J ) est une base de F. b. Montrer que F est stable pour la multiplication dans M , et en déduire que F est un anneau commutatif et unitaire. Cet anneau est-il un corps?
Partie B
On appelle ψ l’application de F dans C qui, à toute matrice A = α I+ βJ de F , associe le nombre complexe z = α + β i.
1. a. Montrer que ψ est un isomorphisme de ( F , +) sur (C, +). b. L’application ψ est-elle un isomorphisme de ( F , ×) sur (C, ×)?
Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.
2. Aux deux nombres complexes z = α + i β et z ′^ = α ′^ + i β ′, l’application ψ −^1 fait correspondre les deux matrices A = α I + βJ et A ′^ = α ′I + β ′^ J. On considère la loi de composition interne dans C, notée ⋆ et définie par
z ⋆ z ′^ = ψ
A × A ′
a. Exprimer ( α + i β ) ⋆ ( α ′^ + i β ′). b. Quelle est la restriction de la loi ⋆ à R? c. Quelle est la restriction de la loi ⋆ à l’ensemble des imaginaires purs?
3. Etant donné un nombre complexe z , on note z (0)^ = 1, z (1)^ = z et z ( n )^ = z ( n −1)⋆ z pour tout entier naturel non nul n. a. Calculer i(2)^ puis i( n )^ pour n > 2.
En posant z = α + i β , démontrer que z ( n )^ = αn^ + nαn −^1 β i pour n > 1.
b. Résoudre dans C les équations :
z (2)^ = 1 ; z (3)^ = 1 ; z ( n )^ = 1 ; z (2)^ − z − i = 0.
4. Dans le plan complexe, on considère le point M 1 d’affixe z 1 =
i et les points M 2 , M 3 , ··· , Mn d’affixes respectives z 2 = z^21 , z 3 = z^31 , zn = zn 1. Calculer les coordonnées xn et yn du point Mn , puis les limites respectives des suites ( xn ) n ∈N et
yn
n ∈N. Partie C
Soit P le plan vectoriel euclidien orienté de base orthonormée directe
ı ,
et soit f l’endomorphisme de P de matrice A = α I + βJ et soit ϕ l’endomorphisme de ma- trice J.
1. a. À quelle condition f est-il un automorphisme de P? b. Quel est le noyau de ϕ? Quelle est l’image de ϕ? 2. a. Soit ρ la rotation vectorielle de P dont la mesure (élément de R/2 π Z) admet pour représentant π 4
On considère les vecteurs
i 1 = ρ
ı
et
j 1 = ρ
qui forment donc une base
i 1 ,
j 1
orthonormée directe. Exprimer
i 1 et
j 1 en fonction de
ı et de
b. Démontrer que la matrice de f dans cette nouvelle base est
α 0 − 2 β α
En déduire la matrice de ϕ dans la base
i 1 ,
j 1
. Soit
V = x
i 1 + y
j 1.
Quelles sont les composantes du vecteur ϕ
V
dans la base
i 1 ,
j 1
c. Démontrer qu’il existe une homothétie vectorielle h , une rotation vecto- rielle r et un projecteur p tels que ϕ = h ◦ r ◦ p.
Lyon 2 septembre 1977
