Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Dijon juin 1972 \
EXER CIC E 1
Le nombre zest le nombre complexe conjugué du nombre complexe znon nul ;
calculer en fonction du module, ρ, et de l’argument, θ, de z, le module et l’argument
du nombre complexe Ztel que
Z=z−³cos π
3+isin π
3´z.
EXER CIC E 2
Dans le plan affine euclidien de repère ³O, −→
ı,−→
´, on considère l’ensemble (Γλ)des
points Mdont les coordonnées (x;y) vérifient l’équation
y2= −2x2+2λx+1−λ2(λ∈R).
Préciser, suivant les différentes valeurs de λ, la nature de (Γλ)et ses éléments remar-
quables.
PROB LÈM E
1. On considère l’application fnde Rdans Rdéfinie par xn
fn(x)=xn
n!e1−x(nentier naturel non nul).
a. Calculer la limite de Log·xn
ex¸quand xtend vers +∞.
En déduire la limite de xn
n!quand xtend vers +∞.
b. Donner le tableau de variations de fnen distinguant les deux cas sui-
vants :
nest pair, et nest impair.
c. Tracer, dans un repère orthonormé ³O, −→
ı,−→
´, les courbes représenta-
tives des fonctions f2et f3; on précisera la position relative de ces courbes.
d. En revenant au cas g énéral, montrer que, si 0 6x61, alors on a
06fn(x)61
n!
2. Soit In=Zx
0
tn
n!e1−tdt.
a. Quelle est la dérivée de l’application de Rdans Rqui à tassocie e1−t?
En déduire, à l’aide d’une intégration par parties, la valeur de I1.
b. De même, en intégrant Inpar parties, vérifier la relation de récurrence
In−In−1= − xn
n!e1−x.
