[Baccalauréat C Clermont-Ferrand juin 1971 \
EXER CIC E 1
Dans le plan complexe, soit mle point d’affixe zet m′le point d’affixe z′, tels que
z+z′=4.
Montrer que m′est l’image de mpar la symétrie, S, de centre I et d’affixe 2.
Soit Rla rotation de centre O, d’affixe 0 et d’angle π
2.
Montrer que R′=R◦Sest une rotation, dont on précisera le centre en en donnant
l’affixe et l’angle.
EXER CIC E 2
On considère le mouvement rectiligne défini par
x(t)=cos3t+p3sin 3t.
1. Montrer que l’on peut écrire x(t) sous la forme acos(ωt+ϕ), où a,ωet ϕsont
des nombres indépendants de t. Déterminer a,ωet ϕ; on prendra ϕtel que
−π<ϕ<π.
2. Déterminer la période du mouvement. Préciser, à l’intérieur d’une période,
les instants et les abscisses où la vitesse diminue, les instants et les abscisses
où elle augmente.
PROB LÈM E
Soit fala fonction numérique de la variable réelle xdéfinie par
fa(x)=x2cosa−2x+cos a
x2−2xcosa+1,
où aest un paramètre réel tel que 0 <a<π.
1. Étudier la fonction fπ
3.
Tracer la courbe représentative ³Cπ
3´de cette fonction dans un repère ortho-
gonal ³O, −→
ı,−→
´, d’axes x′Oxet y′Oyet tel que °
°
°−→
°
°
°=2°
°
°−→
ı°
°
°(on pourra prendre
−→
ıde longueur 1 cm).
2. Montrer que, quel que soit aet quel que soit x, on a les inégalités
fa(x)+1>0 et −fa(x)+1>0.
En déduire que, quel que soit a, les valeurs de la fonction fasont comprises
entre −1 et +1.
Ces valeurs extrêmes sont-elles atteintes? Si oui, pour quelles valeurs de x?
Que peut-on en conclure, concernant l’intersection des courbes (Ca)?
3. Étudier la fonction faEn donner le tableau des variations. On ne demande pas
d’en construire la courbe représentative (Ca). On pourra, en quelques mots,
comparer son allure à celle de la courbe ³Cπ
3´.
