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Les nombres complexes
- 1 Introduction Table des matières
- 1.1 Un problème historique
- 1.2 Création d’un nouvel ensemble
- 2 Construction des nombres complexes
- 2.1 Définition
- 2.2 Représentation des nombres complexes
- 2.3 Opérations avec les complexes
- 2.4 Conjugué
- 2.4.1 Définition
- 2.4.2 Applications
- 2.4.3 Propriétés
- 3 Équation du second degré
- 3.1 Résolution
- 3.2 Application aux équations de degré supérieur
- 4 Forme trigonométrique et exponentielle
- 4.1 Forme trigonométrique
- 4.1.1 Définition
- 4.1.2 Propriétés des modules et arguments
- 4.1.3 Formule de Moivre
- 4.2 Forme exponentielle
- 4.2.1 Définition
- 4.2.2 Formules d’Euler
- 5 Application des complexes à la géométrie
- 5.1 Complexes et vecteurs
- 5.1.1 Définition
- 5.1.2 Affixe d’un vecteur
- 5.1.3 Somme de deux vecteurs
- 5.1.4 Angle orienté
- 5.1.5 Colinéarité et orthogonalité
- 5.1.6 Barycentre
- 5.2 Complexe et transformation
- 5.2.1 Définition
- 5.2.2 Écriture complexe d’une translation
- 5.2.3 Écriture complexe d’une homothétie
- 5.2.4 Écriture complexe d’une rotation
- 5.3 Étude d’une transformation quelconque
2 1 INTRODUCTION
1 Introduction
1.1 Un problème historique
À la fin du XVIe^ siècle, on s’est intéressé à la résolution des équations du troi-
sième degré. On montra rapidement que à l’aide d’un changement de variable
toute équation du troisième degré peut se mettre sous la forme
x^3 + px + q = 0
Cette équation admet au moins un racine réel, dont l’expression peut se mettre
sous la forme (un peu complexe) :
x 0 =
3
q 2
q^2 4
p^3 27
3
q 2
q^2 4
p^3 27
Un mathématicien italien de l’époque, Bombelli, s’intéressa de près à l’équa-
tion :
x^3 − 15 x − 4 = 0
Qui donne alors comme solution : p = −15 et q = − 4
x 0 =
3
3
x 0 =
3
3
3
3
La racine
−1 posait problème. Cependant il remarqua que s’il posait (
− 1 )^2 = −1, on obtenait en develop-
pant ( 2 −
− 1 )^3 et ( 2 +
− 1 )^3 :
On rappelle que :
( a + b )^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 ab^2 + b^3 et ( a − b )^3 = a^3 − 3 a^2 b + 3 ab^2 − b^3
− 1 )^3 = 23 − 3 ( 2 )^2
− 1 )^2 − (
− 1 )^3
− 1 )^3 = 23 + 3 ( 2 )^2
− 1 )^2 + (
− 1 )^3
− 1 donc
x 0 = 2 −
4 2 CONSTRUCTION DES NOMBRES COMPLEXES
2 Construction des nombres complexes
2.1 Définition
Définition 1 : On appelle l’ensemble des nombre complexes, noté C , l’en-
semble des nombres z de la forme :
z = a + ib avec( a , b ) ∈ R^2 et i^2 = − 1
le nombre réel a s’appelle la partie réelle de z notée : Re( z )
Le nombre réel b s’appalle la partie imaginaire de z noté : Im( z ).
Cette forme z = a + ib est appelée forme algébrique.
Remarque :
Tout nombre réel appartient à C (faire b = 0).
Si a = 0 on dit que z est un imaginaire pur
2.2 Représentation des nombres complexes
Théorème 1 : A tout nombre complexe z = a + ib , on peut faire corres-
pondre un point M ( a ; b ) dans un plan orthonormal (O,
u ,
v )
On dit que z est l’affixe de M. On écrit alors M ( z ).
Propriétés : Cette application est réciproque (bijective). A tout point M ( x ; y )
d’un plan muni d’un repère orthonormal, on peut associer un nombre complexe
z = x + iy.
Conclusion : On peut représenter alors le nombre complexe z = a + ib.
On appelle module de z la distance
OM , c’est la dire la quantité notée | z | tel
que :
| z | =
a^2 + b^2
Si z ∈ R , on a z = a et | z | =
a^2 = | a |
qui n’est autre que la valeur absolue du
réel a (même réalité donc même nota-
tion.
0
M ( z )
a
b |z|
axe des réels ↑
← axe des imaginaires
~ u
~ v
b
b
θ
De même on appelle argument de z , une mesure de l’angle (~ u ;
OM ), c’est à
dire la quantité notée arg( z ) telle que si θ est un argument de z on ait :
cos θ =
a | z |
sin θ =
b | z |
avec θ = arg( z ) [ 2 π ]
2.3 OPÉRATIONS AVEC LES COMPLEXES 5
Exemples :
- Déterminer le module des nombres complexes suivants :
z 1 = 1 + i , z 2 = 1 −
3 i , z 3 = − 4 + 3 i
| z 1 | =
cos θ 1 =
sin θ 1 =
θ 1 =
π 4
| z 2 | =
^1 +^3 =^2
cos θ 2 =
sin θ 2 = −
θ 2 = −
π 3
| z 3 | =
cos θ 3 = −
sin θ 3 =
θ 3 = arccos −
- Dans chacun des cas suivants, déterminer l’ensemble des point M dont l’affixe
z vérifie l’égalité proposée.
a) | z | = 3 b) Re( z ) = − 2 c) Im( z ) = 1
a) | z | = 3 : cercle C de centre O et de rayon 3
b) Re( x ) = −2 : Droite d 1 parallèle à
l’axe des ordonnées d’abscisse − 2
c) Im( z ) = 1 : Droite d 2 parallèle à l’axe des abscisses d’ordonnée 1
1
2
3
− 1
− 2
− 3
− 4
− 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3
d 1
d 2
C
2.3 Opérations avec les complexes
Dans l’ensemble des nombres complexes on définit deux opérations : ê L’addition ( + ) :
si z = a + ib et z ′^ = a ′^ + ib ′^ alors z + z ′^ = ( a + a ′) + i ( b + b ′)
ê La multiplication ( × ) :
si z = a + ib et z ′^ = a ′^ + ib ′^ alors z × z ′^ = ( aa ′^ − bb ′) + i ( ab ′^ + a ′ b )
L’ensemble des nombres complexes C muni des lois de l’addition et de la mul-
tiplication est un corps commutatif. Il possède donc toutes les propriétés de ces
deux lois dans l’ensemble des nombres réel R. C’est à dire : la communitativité et
associativité de l’addition et de la multiplication, distributivité de la multiplica-
tion par rapport à l’addition,.. ..
Pour qu’un nombre complexe soit nul, il faut que sa partie réelle et sa partie
imaginaire soient nulles :
a + ib = 0 ⇔ a = 0 et b = 0
2.4 CONJUGUÉ 7
Exemple : Résoudre l’équation suivante : z = ( 2 − i ) z + 3
z = ( 2 − i ) z + 3
z − ( 2 − i ) z = 3
z ( 1 − 2 + i ) = 3
z =
− 1 + i
1 − i
z =
− 3 ( 1 + i ) ( 1 − i )( 1 + i )
z = −
i
2.4.3 Propriétés
Propriété 1 : Soit z un nombre complexe et z son conjugué. On a :
z + z ′^ = 2Re( z ) z est un imaginaire pur alors : z + z = 0
z − z ′^ = 2Im( z ) z est réel alors : z = z
Règle 1 : Pour tous complexes z et z ′, on a :
z + z ′^ = z + z ′^ , z × z ′^ = z × z ′ ( (^) z
z ′
z
z ′^
, zn^ = ( z ) n
Exemples :
- Donner la forme algébrique du conjugué z du complexe suivant : z =
3 − i
1 + i
z =
3 − i
1 + i
3 − i
1 + i
=
3 + i 1 − i
( 3 + i )( 1 + i ) 1 + 1
=
3 + 3 i + i − 1 2 = 1 + 2 i
- Dans le plan complexe, M est point d’affixe z = x + iy , x et y réels. À tout
complexe z , z 6 = 1, on associe : Z =
5 z − 2 z − 1
8 3 ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ
a) Exprimer Z + Z en fonction de z et z.
b) Démontrer que « Z est un imaginaire pur » est équivaut à « M est un point d’un cercle privé d’un point ».
a) On calcule Z + Z
Z + Z =
5 z − 2
z − 1
5 z − 2
z − 1
5 z − 2 z − 1
5 z − 2 z − 1
( 5 z − 2 )( z − 1 ) + ( 5 z − 2 )( z − 1 ) ( z − 1 )( z − 1 )
5 zz − 5 z − 2 z + 2 + 5 zz − 5 z − 2 z + 2
( z − 1 )( z − 1 )
10 zz − 7 ( z + z ) + 4 ( z − 1 )( z − 1 )
b) Si Z est un imaginaire pur alors Z + Z = 0. On en déduit donc que :
10 zz − 7 ( z + z ) + 4 = 0
10 | z |^2 − 14Re( z ) + 4 = 0
10 ( x^2 + y^2 ) − 14 x + 4 = 0
x^2 + y^2 −
x −
x −
x −
On en déduit que le point M ( z ) est le cercle de centre Ω
et de rayon
3 10
privé du point A ( 1 )
3 Équation du second degré
3.1 Résolution
Les nombres complexes ont été créés pour que l’équation du second degré ait
toujours des solutions.
10 4 FORME TRIGONOMÉTRIQUE ET EXPONENTIELLE
- On développe et on identifie à la première forme :
( z − i )( az^2 + bz + c ) = az^3 + bz^2 + cz − iaz^2 − ibz − ic
= az^3 + ( b − ia ) z^2 + ( c − ib ) z − ic
On identifie, et l’on obtient le système suivant :
a = 1
b − ia = − 4 − i
c − ib = 13 + 4 i
− ic = − 13 i
a = 1
b = − 4
c = 13
- L’équation devient donc : ( z − i )( z^2 − 4 z + 13 ) = 0
On a donc z = i ou z^2 − 4 z + 13 = 0.
On calcule ∆ = 16 − 52 = − 36 = ( 6 i )^2
On obtient donc 2 solutions complexes conjugués :
z ′^ =
4 + 6 i 2
= 2 + 3 i ou z ′′^ =
4 − 6 i 2
= 2 − 3 i
Conclusion : S = { i ; 2 − 3 i ; 2 + 3 i }
4 Forme trigonométrique et exponentielle
4.1 Forme trigonométrique
4.1.1 Définition
Définition 3 : On appelle forme
trigonométrique d’un nombre com- plexe z ( z 6 = 0 ) dont l’écriture algé- brique est a + ib , l’écriture suivante :
z = r (cos θ + i sin θ )
avec
r = | z | et θ = arg( z ) [ 2 π ] (^0)
M ( z ) b | z |
arg( z )
~ u a
~ v b
Remarque : La forme trigonomètrique est à relier aux coordonnées polaire
d’un point.
Exemples :
- Trouver la forme trigonométrique de z = 1 − i
On détermine le module : | z | =
12 + (− 1 )^2 =
On détermine un argument : cos θ =
et sin θ = −
4.1 FORME TRIGONOMÉTRIQUE 11
On en déduit que θ = −
π 4
[ 2 π ], d’où :
z =
2 (cos
− π 4
− π 4
- Trouver la forme algébrique de z =
3 (cos
π
3
π
3
On a z =
i
4.1.2 Propriétés des modules et arguments
Théorème 4 : Pour tous complexes z et z ′^ non nuls, on a les relations
suivantes :
| z z ′| = | z | | z ′| et arg( z z ′) = arg( z ) + arg( z ′) [ 2 π ]
| zn | = | z | n^ et arg( zn ) = n arg( z ) [ 2 π ]
∣ ∣ ∣
z z ′
∣ =^
| z | | z ′|
et arg
( (^) z
z ′
= arg( z ) − arg( z ′) [ 2 π ]
Démonstration : Soient deux complexes z = r (cos θ + i sin θ ) et
z ′^ = r ′^ (cos θ ′^ + i sin θ ′). On a alors :
z z ′^ = r r ′(cos θ + i sin θ )(cos θ ′^ + i sin θ ′)
= r r ′(cos θ cos θ ′^ + i cos θ sin θ ′^ + i sin θ cos θ ′^ − sin θ sin θ ′)
= r r ′(cos θ cos θ ′^ − sin θ sin θ ′^ + i (cos θ sin θ ′^ + sin θ cos θ ′)
= r r ′(cos( θ + θ ′) + i sin( θ + θ ′))
Par identification, on en déduit alors :
| z z ′| = r r ′^ = | z | | z ′| et arg( z z ′) = arg( z ) + arg( z ′) [ 2 π ]
On démontre (^) | zn | = | z | n^ et arg( zn ) = n arg( z ) par récurrence à partir
de la propriété du produit.
Pour le quotient, on pose Z =
z z ′^
, on a donc z = Z z ′. Par la propriété du
produit, on a :
| z | = | Z || z ′| ⇔ | Z | =
| z | | z ′|
arg( z ) = arg( Z ) + arg( z ′) [ 2 π ] ⇔ arg( Z ) = arg( z ) − arg( z ′) [ 2 π ]
4.1.3 Formule de Moivre
Théorème 5 : Pour tout nombre complexe z = r (cos θ + i sin θ ) non nul,
on a : zn^ = rn (cos nθ + i sin nθ )
4.2 FORME EXPONENTIELLE 13
On trouve donc f ( θ + θ ′) = f ( θ ) f ( θ ′). C’est la propriété de la fonction expo-
nentielle : l’exponentielle de la somme est égale au produit des exponentielles.
Dérivons la fonction f pour s’en assurer :
f ′( θ ) = − sin θ + i cos θ
= i^2 sin θ + i cos θ
= i (cos θ + i sin θ )
= i f ( θ )
On retrouve le résultat de l’équation différentielle y ′^ = ky
Pour ces deux raisons, on décide de poser eiθ^ = cos θ + i sin θ.
Définition 4 : On appelle forme exponentielle d’un nombre complexe z
la forme : z = reiθ
avec r = | z | et θ = arg( z ) [ 2 π ]
Remarque : On peut maintenant admirer l’expression : eiπ^ + 1 = 0.
Cette expression contient les nombres qui ont marqué les mathématiques au
cours de l’histoire : 0 et 1 pour l’arithmétique, π pour la géométrie, i pour les
nombres complexes et e pour l’analyse.
4.2.2 Formules d’Euler
On peut à l’aide de la forme exponentielle trouver l’expression de la fonction
cosinus et la fonction sinus à l’aide de l’exponentielle.
On a le système suivant :
{ eiθ^ = cos θ + i sin θ
e − iθ^ = cos(− θ ) + i sin(− θ )
eiθ^ = cos θ + i sin θ
e − iθ^ = cos θ − i sin θ
On trouve alors facilement par addition et soustraction des équations, les for-
mules suivantes :
Définition 5 : Formules d’Euler
cos θ =
eiθ^ + e − iθ 2
et sin θ =
eiθ^ − e − iθ 2 i
14 5 APPLICATION DES COMPLEXES À LA GÉOMÉTRIE
5 Application des complexes à la géométrie
5.1 Complexes et vecteurs
5.1.1 Définition
Définition 6 : Soit le plan com-
plexe muni du repère orthonormal
(O,
u ,
v ), on a alors si le point M ( z ) z −−→ OM
= z
et
OM = | z | et (
u ,
OM ) = arg( z )
M ( z ) b | z |
arg( z )
~ u a
~ v b
5.1.2 Affixe d’un vecteur
Soit A ( zA ) et B ( zB ), on a : −−→ AB =
OB −
OA
z −−→ AB
= zB − zA
Règle 2 : Pour tous points A et B du plan complexe, on a :
z −−→ AB
= zB − zA
AB = | zB − zA |
(
u ,
AB ) = arg( zB − zA )
5.1.3 Somme de deux vecteurs
Théorème 6 : Soit
u 1 ( z 1 ),
u 2 ( z 2 )
et
u 3 ( z 3 ) tel que :
−→ u 3 =
u 1 +
u 2
On en déduit que :
z 3 = z 1 + z 2
et l’inégalité triangulaire :
| z 1 + z 2 | 6 | z 1 | + | z 2 | 0
u ~ 1
u ~ 2 u ~^1 +^ ~ u^2
| z 2 |
| z 1 | | z^1
z^2
|
~ u
~ v
16 5 APPLICATION DES COMPLEXES À LA GÉOMÉTRIE
5.2 Complexe et transformation
5.2.1 Définition
Définition 7 : Une transformation plane T est une bijection du plan dans
lui-même.
T : P → P
M 7 → M ′^ = T ( M )
Remarque : Comme une transformation est une bijection, à toute transfoma-
tion T il existe une transformation réciproque T −^1.
Définition 8 : On appelle écriture complexe d’une transformation, la
fonction bijective complexe qui à l’affixe z de M associe l’affixe z ′^ de M ′^ :
f : C → C
z 7 → z ′^ = f ( z )
Exemple : Soit la tranformation d’écriture complexe : z ′^ = ( 2 + 3 i ) z + 1 − i
Remarque : On s’intéressera dans une transformation aux points fixes ( M ′^ = M ) et aux images de droites ou de cercles
5.2.2 Écriture complexe d’une translation
Théorème 9 : Soit t −→ u
la transla-
tion de vecteur
u , on a alors :
−−−→ MM ′^ =
u
Si M ( z ), M ′( z ′) et ~ u ( b ), l’écriture complexe de la translation est donc :
z ′^ = z + b^0
~ u
M
~ u M ′
Remarque : La translation n’a pas de point fixe.
Exemples :
- Soit le vecteur
w = − 2
u + 3
v dans le repère (O,
u ,
v ). Déterminer l’écri-
ture complexe de la translation de vecteur
w.
On a alors
w (− 2 + 3 i ) on obtient alors l’écriture complexe suivante :
z ′^ = z − 2 + 3 i
5.2 COMPLEXE ET TRANSFORMATION 17
- Déterminer l’écriture complexe de la translation qui transforme A ( 1 − i ) en
B ( 3 + 2 i ).
On a alors z −−→ AB
= 3 + 2 i − 1 + i = 2 + 3 i. On obtient alors l’écriture complexe :
z ′^ = z + 2 + 3 i
5.2.3 Écriture complexe d’une homothétie
Théorème 10 : Soit h Ω , k l’homo-
thétie de centre Ω et de rapport non nul k. On a alors :
−−→ Ω M = k
Ω M
Si M ( z ), M ( z ′) et Ω( ω ), on a alors :
z ′^ − ω = k ( z − ω ) 0
b
M b
b
M ′
Remarque : L’homothétie possède un point fixe : son centre.
Si k = −1 l’homothéte est alors la symétrie de centre Ω
Si | k | > 1 correspond à un agrandissement Si | k | < 1 corrzespond à une réduction
Exemple : h est l’homothétie de centre O qui tranforme A en B.
On donne A ( 2 − 2 i ) et B (− 3 + 3 i ). Déterminer l’écriture complexe de h.
On a alors z ′^ = kz donc k =
− 3 + 3 i
2 − 2 i
− 3 ( 1 − i )
2 ( 1 − i )
L’écriture complexe est alors :
z ′^ = −
z
5.2.4 Écriture complexe d’une rotation
Théorème 11 : Soit r Ω , θ est la ro-
tation de centre Ω et d’angle θ. On a alors :
Ω M ′^ = Ω M et (
Ω M ,
Ω M ′^ ) = θ
Si M ( z ), M ′( z ′) et Ω( ω ), on a alors :
z ′^ − ω = eiθ^ ( z − ω )
b Ω
b^ M
b
M ′
θ
Remarque : La rotation possède un point fixe : son centre. Lorsque θ = π la rotation est alors la symétrie de centre Ω.
5.3 ÉTUDE D’UNE TRANSFORMATION QUELCONQUE 19
b) Soit M d’affixe différente de i et M ′^ son image par f , alors :
z ′^ − i =
iz + 2 z − i
− i =
iz + 2 − iz − 1 z − i
z − i
d’où ( z ′^ − i ) ( z − i ) = 1.
c) Soit D′^ l’image de D(1 + 2 i ) par f. On déduit de la question précédente que :
( zD ′ − i ) ( 1 + i ) = 1
ce qui signifie :
ê en module que : AD′× OB = 1, soit AD′^ =
OB
ê en argument que :
u ,
AD′^
π
4
= 0 [ 2 π ] soit (−→ u ,
AD′^
π 4
, soit puisque
u =
AB
AB ,
AD′^
π 4
On peut donc construire l’image D 1 de D par la réflexion d’axe ( AB ). D ′ se trouve alors à l’intersection des diagonales du carré ABD 1 O. D’où la figure :
- Si M est sur le cercle de centre A et de rayon R , on a : AM = R
or la relation établie à la question 1b), donne en module :
AM ′^ × AM = 1
AM ′^ =
R
Donc M’ est sur le cercle de centre A et de rayon
R
. De plus si l’on prend la
relation en argument, on a : (−→ u ,
AM′^
u ,
AM
= 0 [ 2 π ] (−→ u ,
AM′^
u ,
AM
[ 2 π ]
Si l’angle :
u ,
AM
varie dans [0, 2 π ] alors l’angle
u ,
AM′^
varie dans
[0, 2 π ].
Conclusion : l’image par f du cercle de centre A et de rayon R est le cercle de
centre A et de rayon
R
- a) Si z est un imaginaire pur alors on peut écrire : z = iα avec α 6 = 1. En
remplaçant dans l’écriture complexe de f , on a :
z ′^ =
i ( iα ) + 2 iα − i
− α + 2 i ( α − 1
α − 2 α − 1
i
20 5 APPLICATION DES COMPLEXES À LA GÉOMÉTRIE
Donc z ′^ est un imaginaire pur.
Inversement on peut montrer que si z ′^ est un imaginaire pur alors z aussi. (l’expression en 1b) est symétrique.
Conclusion l’image par f de l’axe des ordonnées privé de A est l’axe des ordonnées privé de A.
b) Si M est un point de D privé de A alors son affixe z est de la forme : z = α + i ( α 6 = 0). En appliquant la relation du 1b), on obtient :
( z ′^ − i ) =
α + i − i
⇔ z ′^ =
α
Donc M ′^ est sur la droite D privé de A
Réciproquement si le point M ′^ se trouve sur la droite D privé de A, on a
z ′^ = α + i ( α 6 = 0), on obtient alors z =
α
- i. Donc M est aussi sur la droite
D privé de A.
Conclusion : l’image par f de la droite D privé de A est la droite D privé de A.
1
2
R
1 R
( D ) b A
b C b^ B
b^ D
b D 1
b
D b ′
