MATHÉMATIQUES I
Concours Centrale-Supélec 2005 1/4
MATHÉMATIQUES I Filière TSI
Les polynômes intervenant dans ce problème sont des polynômes à une indéter-
minée sur le corps des nombres réels. Un polynôme pourra être indifférem-
ment noté ou . On désigne par l’espace vectoriel des fonctions continues
de sur , par le sous-espace vectoriel de constitué des polynômes de
degré inférieur ou égal à ( entier naturel), et par la partie entière d’un
entier .
Partie I -
I.A - désignant la fonction cosinus hyperbolique et la fonction sinus hyper-
bolique, on rappelle que : .
I.A.1) Montrer que, .
I.A.2) En déduire, pour tout entier naturel , l’existence d’un polynôme
tel que : , .
Expliciter , , , et .
I.B -
I.B.1) Démontrer que pour tout :
En déduire que la suite est unique.
I.B.2) Démontrer que, pour tout entier naturel :
, .
I.B.3) Calculer le terme de plus haut degré de . Déterminer la parité de
.
I.B.4) Démontrer que, si et , alors .
I.C - Dans cette question est un entier naturel non nul fixé.
Démontrer que les racines de sont toutes réelles, distinctes, et qu’elles
appartiennent à l’intervalle . Elles seront notées , de telle
sorte que la suite des soit strictement décroissante. On déterminera la valeur
de .
XIR
PPX() E
11,–[] IR FnE
nn n[]
n
ch sh
αIR nIN enα
,∈∀,∈∀ chαshα+()
n
=
αIR nIN chnα,∈∀,∈∀ n
2k
⎝⎠
⎛⎞
chα()
n2k–ch2α1–()
k
k0=
n2⁄[]
∑
=
nP
n
αIR∈∀ ch nα() Pnchα()=
P0P1P2P3P4
n2≥
PnX()Pn2– X()+2XP
n1– X()=
Pn
()
nIN∈
n
αIR∈∀ Pnαcos() nα()cos=
Pn
Pn
x1>n1≥
Pnx() 1>
n
Pn
]11],–xi
0in1–≤≤
xi
xi
