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MATHÉMATIQUES II
Notations. Dans tout le probleme, on ne considere que des matrices carr´ees r´eelles. On d´esigne par E l’espace vectoriel r´eel des matrices carr´ees (r´eelles) d’ordre 2, c’est-
a-direa 2 lignes et 2 colonnes. Si M =
a b c d
∈ E, on rappelle la d´efinition de sa
trace Tr(M ) = a + d et de son polynˆome caract´eristique
χM : x ∈ R 7 −→ det(xI 2 − M ),
o`u I 2 d´esigne la matrice identit´e et det le d´eterminant d’ordre 2. En outre, on identifie les espaces vectoriels r´eels R^2 et M 2 , 1 (R) et on munit R^2 de son produit scalaire canonique et de la norme euclidienne associ´ee.
On pose donc, pour X =
x 1 x 2
∈ R^2 , X =
x^21 + x^22.
On rappelle enfin qu’une matrice carr´ee r´eelle A d’ordre 2 est orthogonale si, et seulement si, tA A = I 2. L’ensemble des matrices orthogonales r´eelles d’ordre 2 est not´e O 2.
On d´esigne par S 2 l’espace vectoriel des matrices sym´etriques r´eelles d’ordre 2.
Partie I - G´en´eralit´es
I.A -
I.A.1) D´emontrer que si deux matrices de E sont semblables, elles ont mˆeme trace et mˆeme polynˆome caract´eristique. La r´eciproque est-elle vraie? Justifier la r´eponse.
I.A.2) D´emontrer que Φ : (M 1 , M 2 ) 7 −→ Tr(tM 1 M 2 ) d´efinit un produit scalaire sur E. Pour la suite du probleme, E pourra ˆetre muni de la norme associ´eea ce produit scalaire.
I.A.3) D´emontrer que, pour toute matrice M ∈ E, on a | det(M )| 6
Tr(tM M ).
Quand y a-t-il ´egalit´e?
Filière PSI
I.A.4) Pour M ∈ E et x ∈ R, exprimer χM (x) en fonction de x, Tr(M ) et det(M ). En conclure que 1 est une valeur propre de M si, et seulement si, Tr(M ) = 1 + det(M ).
I.B - La d´ecomposition U DV
On donne dans cette question M =
a b c d
´el´ement de E, avec (a, b, c, d) ∈ R^4.
I.B.1) Si θ ∈ R, on pose P (θ) =
cos θ − sin θ sin θ cos θ
et ϕ(θ) = Tr(M P (θ)).
D´emontrer que ϕ est une application born´ee de R dans R et qu’il existe θ 1 ∈ R en lequel ϕ atteint son maximum. En choisissant alors un tel θ 1 et en consid´erant ϕ′(θ 1 ), d´emontrer que M P (θ 1 ) est une matrice sym´etrique.
I.B.2) En d´eduire que M ∈ E peut se mettre sous la forme P (t 1 )DP (t 2 ), ou (t 1 , t 2 ) ∈ R^2 et ou D est une matrice diagonale de E.
Remarque : on a ´etabli que toute matrice M ∈ E peut se mettre sous la forme M = U DV , o`u D est diagonale et U, V orthogonales.
I.B.3) Exemple : d´ecomposer la matrice M 0 =
sous la forme P (t 1 )DP (t 2 ),
o`u (t 1 , t 2 ) ∈ R^2.
I.C - Soit A ∈ E, U et V des matrices orthogonales d’ordre 2 et B = U AV. D´emontrer que tA A et tB B sont semblables.
On ne demande pas de d´emontrer le r´esultat suivant, qui est admis : toute ma- trice M ∈ E peut se mettre sous la forme P (t 1 )DP (t 2 ), ou (t 1 , t 2 ) ∈ R^2 et ou
D =
α 0 0 β
∈ E v´erifie en outre α 6 β et β > 0.
II.E - On d´efinit S comme :
S =
M ∈ R
∣ ∃ X 0 ∈ R^2 , X 0 6 = 0, ||M X 0 || = ||X 0 ||
II.E.1) En reprenant les calculs de II.C.2.a, d´emontrer que M appartient a S si, et seulement si, le polynˆome caract´eristique de tM M est de la forme (x − λ)(x − 1), ou λ ∈ [0, 1].
II.E.2) Si M ∈ E, on l’´ecrit sous la forme M = P (t 1 )DP (t 2 ), o`u (t 1 , t 2 ) ∈ R^2 et
o`u D =
α 0 0 β
avec α 6 β et β > 0.
a) D´eterminer les valeurs propres de tM M en fonction de α et β.
b) D´emontrer que M ∈ S si, et seulement si, il existe U et V , matrices orthogonales
d’ordre 2 et γ ∈ [− 1 , 1] tels que M = U
γ 0 0 1
V.
II.E.3) En d´eduire que, si M est une matrice non orthogonale de S , il existe des matrices orthogonales W et W ′^ d’ordre 2 telles que M appartienne au segment [W W ′].
On pourra montrer d’abord que si M est de la forme
γ 0 0 1
, avec γ ∈] − 1 , 1[,
on peut choisir W et W ′^ orthogonales et diagonales telles que M appartienne au segment [W W ′].
II.F - On d´esigne par E 1 l’ensemble des matrices de la forme
a −b b a
, avec
(a, b) ∈ R^2 et par E 2 l’ensemble des matrices de la forme
c d d −c
, avec (c, d) ∈ R^2.
II.F.1) D´emontrer que E 1 et E 2 sont deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires de E orthogonaux au sens du produit scalaire Φ d´efini en I.A.2.
II.F.2) D´emontrer que E 1 contient toutes les matrices orthogonales d’ordre 2 et de d´eterminant +1 et que E 2 contient toutes les matrices orthogonales d’ordre 2 et de d´eterminant −1.
II.F.3) Lorsque M est une matrice non orthogonale de S , d´eduire de ce qui pr´ecede le nombre de segments [W W ′] – ou W et W ′^ sont orthogonales – contenant M.
Partie III - D´efinition de l’ensemble H
III.A -
III.A.1) Si M =
a b c d
, d´emontrer que que M ∈ S implique
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1 + (ad − bc)^2
On d´esigne par H l’ensemble des matrices M ∈ E v´erifiant cette derni`ere relation.
III.A.2)
a) R´eciproquement, a quelle condition, v´erifi´ee par son d´eterminant, une matrice M ∈ H appartient-ellea S?
b) D´emontrer qu’une matrice M ∈ H appartient `a S si et seulement si Tr(tM M ) 6 2.
III.B -
III.B.1) Si (A, B) ∈ E 1 × E 2 , calculer det(A + B) en fonction de det(A) et de det(B).
Si (M 1 , M 2 ) ∈ E^2 , avec M 1 6 = M 2 on d´efinit la droite affine (M 1 M 2 ) comme l’ensemble des matrices de la forme (1 − t)M 1 + tM 2 , o`u t d´ecrit R. Dans la suite, on l’appellera droite (M 1 M 2 ).
III.B.2) D´emontrer que, si W et W ′^ sont des matrices orthogonales ´el´ements de E, telles que det(W ) = +1 et det(W ′) = −1, la droite (W W ′) est incluse dans H. R´eciproquement, H est-elle r´eunion de droites de cette forme?
IV.D - Exemple d’intersection de H avec un sous-espace de dimension 3
On d´esigne par S 2 l’espace vectoriel des matrices sym´etriques r´eelles d’ordre 2.
IV.D.1) D´emontrer qu’une matrice M ∈ S 2 appartient a H si, et seulement si, elle admet une valeur propre ´egalea +1 ou `a −1.
On admet qu’une base orthonormale de S 2 est B = (M 1 , M 2 , M 3 ), avec
M 1 =
, M 2 =
, M 3 =
IV.D.2) En ´ecrivant une matrice de S 2 sous la forme xM 1 + yM 2 + zM 3 , d´ecrire l’ensemble Ca des matrices de S 2 admettant le r´eel donn´e a comme valeur propre. En d´eduire une description de H ∩ S 2.
IV.D.3) Soit θ ∈ R et N = P (θ)M (x, y, z)P (θ)−^1 ; d´emontrer que c’est une matrice de la forme M (u, v, w) et exprimer (u, v, w) en fonction de (x, y, z). In- terpr´eter certains des r´esultats de la question IV.D.2.
IV.D.4) Repr´esenter par un dessin H ∩ S 2 et S ∩ S 2.
• • • FIN • • •
