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CONCOURS COMMUN 2002 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES
Épreuve de Physique et Chimie (toutes filières). Mardi 21 mai 2002 de 8h00 à 12h Barème indicatif : Chimie 1/3 Physique 2/ Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 16 pages numérotées 1/16,2/16,…16/16. La page 15 est à découper et à joindre à la copie. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondante. Toute application numérique ne comportant pas d'unité ne donnera pas lieu à attribution de points.
Analogies et différences
Les 3 problèmes de physique sont indépendants. De même, les parties sont indépendantes sauf pour les questions B-6 et F-2-6. Les questions peuvent être traitées dans l'ordre choisi par le candidat. Il prendra toutefois soin de bien numéroter les questions.
PHYSIQUE I : Étude d'un ressort dans 2 référentiels
Attention : Ce n'est pas une étude comparée dans les deux référentiels.
A - Étude dans le référentiel R du laboratoire :
Le mouvement est étudié dans le référentiel du laboratoire assimilé à un référentiel galiléen et associé à un repère ( O , i , j , k )
r r r .
Un palet M de masse m peut se mouvoir sans frottement dans le plan ( O , x , y )horizontal (table à coussin d'air par exemple). Le
champ de pesanteur est suivant la verticale Oz : g gk
r r = −. La masse m est accrochée à l'extrémité d'un ressort (point M ) de longueur à vide l 0 , de raideur k , dont l'autre extrémité est
fixée en O. La position de M est repérée dans la base ( i , j )
r r par OM xi yj
r r = + ou dans la base ( e (^) r , e θ)
r r par OM rer
r =. A-1 Faire un bilan des forces. Montrer qu'il y a conservation du moment cinétique LO
r par rapport à O. A-2 A t = 0 , la masse est lâchée, sans vitesse initiale, d'une longueur 1 , 2 l (^) 0 : OM t li
r ( = 0 )= 1 , 20.
A-2-1 Calculer LO
r
. Quelle est la nature de la trajectoire? A-2-2 Déterminer l'évolution temporelle de la longueur du ressort l ( t )= OM ( t ). Préciser l'intervalle de variation de l ,
longueur du ressort.
A-3 On lance la particule d'un point OM OMt li
r 0 =^ (^ =^0 )= 1 , avec une vitesse initiale^ v^ l j
r r
0 =^1 ω orthogonale à
OM (^) 0. Dans la suite, on travaillera en coordonnées polaires dans le plan ( O , x , y ).
A-3-1 Préciser LO
r en fonction de r et dt
d θ
, puis, en fonction des conditions initiales et des vecteurs de base. On notera
L le module de LO
r . A-3-2 Rappeler l'expression de l'énergie potentielle élastique. Doit-on tenir compte de l'énergie potentielle de pesanteur pour étudier le mouvement? Montrer qu'il y a conservation de l'énergie mécanique Em. Préciser l'expression de Em :
- en fonction des conditions initiales,
- en fonction de mk dt
d dt
dr r , , ,
et l 0.
A-3-3 Montrer que l'énergie mécanique peut s'écrire : () 2
2 E r dt
dr E (^) m m + eff
Préciser l'expression de E (^) eff ( r ). Tracer l'allure de E (^) eff ( r ). A-3-4 La masse peut-elle s'éloigner indéfiniment du pôle d'attraction? A-3-5 La vitesse de la particule peut-elle s'annuler au cours de son mouvement? A-3-6 La particule peut-elle passer par le centre d'attraction au cours de son mouvement?
A-4 On cherche à déterminer une condition entre l 1 et ω pour avoir un mouvement circulaire.
A-4-1 Montrer que dans ce cas, le mouvement est uniforme.
A-4-2 Déterminer l 1 en fonction de k , l 0 et ω. Est-elle valable pour tout ω?
B - Étude dans un référentiel R' en rotation uniforme autour d'un axe fixe :
Le mouvement est étudié dans le référentiel R' en rotation uniforme autour d'un axe Oz fixe, de vecteur vitesse k
r r
Ω = ω et
associé au repère ( O , er , e , k )
r r^ r θ.
Physique II : Transitoires thermiques et électriques
C - Transitoire électrique :
Un dipôle comporte entre ses bornes un résistor de résistance R et un condensateur de capacité C placés en série. On le place aux bornes d'un générateur de force électromotrice E et de résistance interne Rg en série avec un interrupteur K. Initialement, le circuit est ouvert et le condensateur déchargé. Soit uC la tension aux bornes du condensateur. A l'instant t = 0 ,
on ferme l'interrupteur K.
C-1 Déterminer, sans calcul et en le justifiant, u (^) C ( 0 +^ ), i ( 0 +). C-2 Établir l'équation différentielle à laquelle obéit u (^) C ( t ).
C-3 Déterminer la constante de temps τ du circuit et donner son interprétation physique.
C-4 Établir l'expression de u (^) C ( t ). C-5 Déterminer l'expression de t 1 pour que u (^) C = 0 , 9 E. Dans l'étude expérimentale du circuit RC, on observe l'oscillogramme ci-dessous en utilisant un générateur délivrant des signaux créneaux. Les sensibilités sont : 1V/carreau vertical ; 0,1 ms/carreau horizontal. On néglige les caractéristiques de l'oscilloscope.
C-6 Identifier les courbes (1) et (2) aux voies A et B en justifiant votre choix. C-7 Doit-on être sur le couplage alternatif AC ou le couplage continu DC? C-8 Préciser l'expression de la tension au point P. Sachant que R = 100 Ω, déterminer Rg. C-9 En déduire la valeur de C et E. C-10 Estimer une majoration de la fréquence du signal carré utilisé. C-11 Comment pourrait-on observer l'intensité?
D - Transitoire thermique :
On donne : m = 200 g; c = 4 , 18 J.g−^1 .K−^1 ; Γ = 50 J/K. On rappelle que T (K) = T (°C)+ 273 , 15. Dans un calorimètre de capacité thermique Γ à la température extérieure Text , on verse une masse m d'eau à la température
extérieure Text et on plonge une résistance chauffante de valeur R , alimentée sous une tension continue U.
On considérera comme système {eau-calorimètre} On note T la température, t le temps et c la capacité thermique massique de l'eau. On admet de plus que les fuites thermiques peuvent se traduire par une puissance de perte p = k ( T − Text ).
D-1 A quelle variation de fonction d'état s'identifie δ Q?
D-2 Faire un bilan d'énergie pendant un intervalle de temps dt. Montrer que
T T M
dt
dT
Exprimer τ et TM en fonction de m , c ,Γ, U , R , k et Text.
Quelle est l'interprétation physique de TM? On coupe le chauffage. On négligera la capacité thermique de la résistance chauffante. D-3 Refaire un bilan d'énergie pendant un intervalle de temps dt. En déduire T ( t ). On notera T 0 (^) = T ( 0 ) la température à l'instant t = 0. D-4 On enregistre grâce à une interface la température T ( t )au cours du refroidissement.
Déterminer sur l'enregistrement τ et Text. En déduire k.
Physique III : Les champs
électrostatiques et magnétostatiques
E - Champ électrostatique créé par une spire :
E-1 Champ sur l'axe :
On donne une spire circulaire de rayon R , de centre O , d'axe Oz. Cette spire porte une charge positive Q répartie
uniformément avec une densité linéique de charge λ
en C .m−^1. E-1-1 Montrer par des arguments de symétrie que, sur l'axe, le champ électrostatique E
r est porté par l'axe et prend la forme de E Ek
r r = où k
r est un vecteur unitaire porté par l'axe Oz. E-1-2 Comparer E ( − z )et E ( z ). E-1-3 Calculer le champ électrostatique créé en un point M de l'axe tel que OM = z. On donnera le résultat en fonction de Q , la charge totale, du rayon R ,
de la permittivité du vide ε 0 et de la distance z.
E-1-4 Tracer le graphe de la fonction E ( z ).
E-2 Champ au voisinage de l'axe :
On s'intéresse maintenant au champ électrostatique au voisinage de l'axe. On calcule donc le champ en un point M défini par
des coordonnées cylindriques ( r , θ , z ).
E-2-1 Montrer par des arguments de symétrie très précis, qu'en M , le champ E
r n'a pas de composante orthoradiale E θ. E-2-2 Montrer que la norme 1 de E ne dépend que de r et z. E-2-3 Montrer qu'au voisinage de l'axe le flux du champ E
r est conservatif. Que peut-on dire de sa circulation sur un contour fermé? E-2-4 Calculer le flux de E
r à travers une surface fermée cylindrique d'axe Oz dont les bases sont des disques de rayon r petit et de cotes z et z + dz.
En déduire dz
rdE z E (^) r zr z
Calculer l'expression de E (^) r ( z , r ). E-2-5 A l'aide d'un logiciel de simulation, on trace les lignes de champ et les équipotentielles. E-2-5-1 Sur la feuille donnée en annexe page 15 et à joindre à la copie, préciser les lignes de champ avec des flèches en
supposant λ > 0.
E-2-5-2 Qu'obtiendrait-on comme allure de lignes de champ à grande distance? E-2-5-3 Qu'obtiendrait-on comme allure d'équipotentielles à grande distance? E-2-5-4 Montrer que les lignes de champs sont perpendiculaires aux équipotentielles. Que se passe-t-il au centre? E-2-5-5 Justifier le fait que les lignes de champ se rapprochent puis s'éloignent de l'axe. On pourra utiliser l'expression de E (^) z ( z , r )déterminée dans la question E-2-4.
F - Champ magnétostatique créé par une spire parcoure par un courant I :
F-1 Champ sur l'axe :
On donne une spire circulaire de rayon R , de centre O , d'axe Oz. Cette spire est parcourue par un courant électrique d'intensité I constante.
F-1-1 Montrer par des arguments de symétrie que, sur l'axe, le champ magnétostatique B
r est porté par l'axe et prend la
forme de B Bk
r r = où k
r est un vecteur unitaire porté par l'axe Oz. F-1-2 Comparer B ( z )et B ( − z ).
(^1) plutôt les composantes
F-1-3 Calculer le champ magnétostatique créé en un point
M de l'axe tel que OM = z. On écrira (^)
R
z B ( z ) B 0 f où
B (^) 0 = B ( 0 ). Préciser B 0 et (^)
R
z f.
F-1-4 Tracer le graphe représentant les variations de la fonction B ( z ).
F-2 Champ au voisinage de l'axe :
On s'intéresse maintenant au champ magnétostatique au voisinage de l'axe. On calcule donc le champ en un point M défini par
ses coordonnées cylindriques ( r , θ , z ).
F-2-1 Montrer par des arguments de symétrie très précis, qu'en M , B
r n'a pas de composante orthoradiale B θ.
Montrer que la norme de B ne dépend que de r et z. F-2-2 Compléter sur la feuille donnée en annexe page 15 et à rendre avec la copie, les lignes de champ par des flèches en indiquant leur sens, en précisant le sens du courant. F-2-3 Qu'obtiendrait-on comme allure de lignes de champ à grande distance? F-2-4 Quelle(s) différence(s) fondamentale(s) a-t-on entre les deux topographies? F-2-5 Montrer qu'au voisinage de l'axe, la circulation de B
r est conservative. Que peut-on dire du flux de B
r à travers une surface fermée? En déduire, sans calcul B (^) r ( z , r )par analogie avec la question E-2-4. F-2-6 Calculer explicitement B (^) r ( z , r ).
II-3 En déduire la concentration initiale de la solution d'ammoniaque.
III - Les propriétés complexantes de NH 3 avec les ions cuivre(II) :
On définit les constantes de formation globale de complexation, β n , les constantes de loi d'action de masse pour les réactions :
←
Cu^2 + nNH 3 Cu ( NH 3 )^24.
Les tables donnent : 2 + CuNH (^) 3 2 + Cu ( NH 3 ) 2 2 + Cu ( NH 3 ) 3 2 + Cu ( NH 3 ) 4
log( β n ) 4,2 7,6 10,6 12,
III-1 Écrire les expressions de β n
Écrire les expressions des constantes de dissociations successives K (^) dj , j = 1..4.
3
2 3 1
2 Cu ( NH 3 ) j Cu ( NH ) j + NH ←
−
En déduire une relation entre les constantes de dissociations successives K (^) dj et les constantes de formation globale de
complexation β n.
En déduire les valeurs numériques de pK (^) dj =−log( Kdj ) III-2 En déduire le diagramme de prédominance en fonction de pNH (^) 3 = −log[ NH 3 ]. III-3 On considère un bécher de 50 mL contenant un mélange de 20 mL d'une solution d'ammoniaque 1 mol/L et de 20 mL d'une solution de sulfate de cuivre (II), CuSO 4 , de concentration C 1 = 0,01 mol.L–1.
III-3-1 Expliquez pourquoi Cu ( NH 3 )^24 +est majoritaire. Écrire la réaction globale. III-3-2 Quelles sont les concentrations [ NH (^) 3 ], [ Cu ( NH 3 )^24 +]et [ Cu^2 +]à l'équilibre. III-4 On constitue la pile suivante à 25°C :
- le compartiment A comporte une électrode de cuivre plongeant dans une solution de sulfate de cuivre II, CuSO 4 , de concentration C 1 = 0,01 mol.L–1^ dans un bécher de 50 mL.
- Le compartiment B comporte une électrode de cuivre plongeant dans un bécher de 50 mL contenant un mélange de 20 mL
d'une solution d'ammoniaque de concentration C 2 = 1 mol/L et de 20 mL d'une solution de sulfate de cuivre II ( Cu^2 +^ , SO^24 −), de
concentration C 1 = 0,01 mol.L– III-4-1 Écrire l'expression du potentiel de Nernst pour le couple Cu2+^ /Cu. En déduire la différence de potentiel U (^) AB. III-4-2 Faire le schéma de la pile. Préciser la borne (+) et (–). III-4-3 Écrire les réactions à l'anode et à la cathode. Donner le bilan de la réaction dans le cas où on laisserait la pile débiter. III-4-4 Quel est le rôle du pont salin?
IV – De l’ammoniac à l’acide nitrique :
Industriellement, la synthèse de l'ammoniac se fait selon l'équilibre suivant :
N (^) 2 3 H (^2) ← 2 NH 3
On donne : Corps pur État (^) ∆ (^) f H °en kJ.mol–1^ à 298 K C (^) p en J.mol –1.K – H 2 gaz 0 28, N 2 gaz 0 29, NH 3 gaz –46,210 28, IV-1 Calculer l'enthalpie de réaction ∆ (^) r H °à 298 K. IV-2 Calculer l'enthalpie de réaction ∆ (^) r H °à 770 K. La réaction est-elle exothermique ou endothermique? IV-3 L'ammoniac peut ensuite en présence du dioxygène O 2 s'oxyder en monoxyde d'azote NO et vapeur d'eau H2O. Écrire la réaction. IV-4 Le monoxyde s'oxyde ensuite selon : 2 NO ( g )+ O 2 ( g )→ 2 NO 2 ( g ). IV-4 –1 En se fondant sur la notion de molécularité, justifier le fait que cette réaction n'ait pas lieu en une seule étape selon 2 NO ( g )+ O 2 ( g )→ 2 NO 2 ( g ).
Le mécanisme proposé est le suivant :
2 ( ) 2 2 ( ) 1
1 NOg NO g k
k
←
−
équilibre rapide
N (^) 2 O 2 ( g )+ O 2 ( g ) → k^3 2 NO 2 ( g )lente
La vitesse de la réaction est définie par la relation : dt
dNO v
[ ]
= où [ NO 2 ]est la concentration de NO 2.
IV-4-2 Le mécanisme est-il par stade ou en chaîne? Justifier. IV-4-3 Calculer la vitesse en fonction de k 1 , k (^) − 1 , k (^) 3 , [ NO ] et [ O (^) 2 ]. Quel est l'ordre global de la réaction?
