Modulation d'impulsions, Slides de Énergie

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Modulation d’impulsions^ ’Pulse Modulation’ Cours de Télécommunications^ Thierry Sartenaer^ Novembre 2006

Télécommunications (ECAM)

Modulation d’impulsions

Novembre 2006^

Echantillonnage

Outline^1 Echantillonnage^2 Modulation analogique d’impulsions^3 Quantification^4 Modulation d’impulsions codées^5 Multiplexage temporel^6 Modulation Delta^7 Modulation différentielle d’impulsions codées^ Télécommunications (ECAM)

Modulation d’impulsions

Novembre 2006^

Echantillonnage

Echantillonnage^ Si^ g(t)

est un signal de spectre limité à

W

Si on choisit la période d’échantillonnage

T=^1 /^2 Ws^

Alors la séquence d’échantillons

g(n/^2 W^ )^ contient toute l’information relative au signal de départ

g(t)): (^1) G(f ) = 2 W

(^1) G(f ) = (^) δ 2 W ∞^ (^ ∑n^ g^2 W n=−∞

( )jπ exp^ −^ )nf^ ,^ −W W <^ f^ <^ W

Télécommunications (ECAM)

Modulation d’impulsions

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Echantillonnage

Echantillonnage^ Reconstruction du signal à partir de ses échantillons:

∫ g(t) = ∞^ G(f^ )^ exp−∞

(^2 πjft)df ∫^ W^1 =^2 W^ −W

∞^ (^ ∑n^ g^2 W n=−∞

( )jπ exp^ −^ )nf^ exp(^2 π W jft)df

∞^ (∑ =^ g −∞

∫ ) (^) n (^12) W 2 W

[W (^) −W exp (n 2 πjf^ t^ −^2 W )]^ df

∞^ (∑ =^ g −∞ )^ nsin(^22 W

πWt^ −^ nπ) 2 πWt^ −^ nπ ∞^ (∑ =^ g −∞ )n^ sinc(^22 W

Wt^ −^ n)

Théorème de l’échantillonnage:

Un signal d’énergie finie n’ayant pas de composante fréquentielle au-delà de

W^ Hz est entièrement défini par les

échantillons recueillis à cadence 2

W^ , et peut être parfaitement reconstruit à partir

de ces échantillons Télécommunications (ECAM)

Modulation d’impulsions

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Echantillonnage

Echantillonnage^ Avantages d’un sur-échantillonnage: le filtre de reconstruction peut avoir unebande de transition entre

W^ et^ f−^ Ws^ Télécommunications (ECAM)

Modulation d’impulsions

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Modulation analogique d’impulsions

Outline^1 Echantillonnage^2 Modulation analogique d’impulsions^3 Quantification^4 Modulation d’impulsions codées^5 Multiplexage temporel^6 Modulation Delta^7 Modulation différentielle d’impulsions codées^ Télécommunications (ECAM)

Modulation d’impulsions

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Modulation analogique d’impulsions

Pulse Amplitude Modulation (PAM)^ Soit^ h(t)^

une impulsion rectangulaire de durée

T

Signal PAM temporel:

s(t)^ =^ m

(t)^ ⊗^ h(t) =δ

∫^ ∞^ m(τ^ )δ^ −∞ h(t^ −^ τ^ )dτ ∫^ ∞ =−∞ ∞∑^ m(nT)s^ n=−∞

δ(τ^ −^ nT)hs^

(t^ −^ τ^ )dτ ∞∑ =^ m n=−∞ (nT)h(t^ −^ s^ nT)s^

Signal PAM fréquentiel:

S(f^ ) =^ M(δ^

f^ )H(f^ ) =^ fs

∞∑^ M(f^ −^ kf k=−∞

)H(f^ )s

Télécommunications (ECAM)

Modulation d’impulsions

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Modulation analogique d’impulsions

Pulse Amplitude Modulation (PAM)^ Démodulation PAM: filtre de reconstruction de sortie

M(f^ )H(f^ )^ (pour un taux

d’échantillonnage

fsupérieur au taux de Nyquist 2s^

W^ )

Distorsion d’amplitude et délai

T^ /2, à corriger par un égaliseur de réponse idéale^1 =^ |H(f^ )|^

(^1) T sinc(fT^ )

En pratique, pour un taux

T^ /T≤^0 .1, la distorsion est négligeable (s^

<^0.^5 %)

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Modulation d’impulsions

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Modulation analogique d’impulsions

Compromis entre bande passante et résistance au bruit^ La solution la plus robuste contre le bruit est la PPM. Les performances sontsimilaires à celles de la modulation FM:^ Figure de mérite proportionnelle à

(^ )^2 BT^ W Effet de seuil pour un SNR réduit Les 2 types de modulations analogiques (à porteuse sinusoïdale ou à traind’impulsions) atteignent donc au mieux une loi

quadratique

Pour faire mieux: modulation d’impulsions codées (PCM), où le signal messageest discrétisé simultanément en temps (échantillonnage) et en amplitude(quantification) Performance des modulations PCM: loi

exponentielle

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Modulation d’impulsions

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Quantification

Outline^1 Echantillonnage^2 Modulation analogique d’impulsions^3 Quantification^4 Modulation d’impulsions codées^5 Multiplexage temporel^6 Modulation Delta^7 Modulation différentielle d’impulsions codées^ Télécommunications (ECAM)

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Quantification

Quantification^ Quantificateurs uniformes (distance constante entre les niveaux dereprésentation) ou non-uniformes^ Quantificateurs symétriques: ’midtread’ ou ’midrise’^ Télécommunications (ECAM)

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Quantification

Quantification^ Bruit de quantification:

Q^ =^ M^ −^ V

M^ de moyenne nulle et

g(m)^ symétrique:

Q^ de moyenne nulle

Dynamique d’amplitude:

(−m,^ mmax

)max

Pas de quantification:

2 mmax ∆ = L Télécommunications (ECAM)

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Quantification

Quantification^ Message

m(t)^ sinusoïdal d’amplitude

Am

Puissance du signal:

(^2) A m P = 2 Dynamique du signal:

(−m,^ mmax

) = (−max A,^ A)m^ m^

SNR à la sortie du quantificateur:

(SNR)=o^

(^2) A/^2 m^2 −^2 R^ A 2 / m

32 R^ = (^2 ) 2

10 log(SNR^10

)=^1.^8 o^

+^6 R

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Quantification

Quantification^ Design optimal d’un quantificateur: sélection des niveaux de représentation

vetk^

des intervalles de partition

Jde manière à minimiser le bruit de quantification,k^ pour un nombre de niveaux

L^ donné Soit^ m(t)^ un message aléatoire de fonction de répartition

f(m)^ et de dynamiqueM^

−A^ ≤^ m(t)^

≤^ A,^ L^ intervalles de partition définis par les limites (m=^ −A,^1 m,^ · · ·^ ,^ m^2 k^

,^ · · ·^ ,^ m=L+^1

A), et^ L^ niveaux de représentation

vk

Problème: trouver les 2 ensembles

L {v}et^ k k=^1 L{J}qui minimisent la distorsionk k=^1

moyenne:

∫ L∑ D =^ m k= 1 d(m,^ vk^ ∈Jk )f(m)dmM^

Définition usuelle de la fonction de distorsion:

d(m,^ v) = (k^

(^2) m − v)k

Problème d’optimisation non-linéaire: pas de solution explicite. Une approchealgorithmique permet d’atteindre la solution de manière itérative Télécommunications (ECAM)

Modulation d’impulsions

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