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Année 2007-2008 1 TIE
Chap 5 :
Nombres complexes
I. Présentation
1) Forme algébrique
En mathématiques la lettre i (i comme imaginaire) a une signification bien particulière :
On note i le ((nombre )) tel que i
2 = −1.
Un tel nombre n’existe pas parmi les nombres réels, c’est en quelque sorte une écriture de
p
−1.
Définition 1 : On appelle nombre complexe tout ((nombre )) z qui s’écrit sous la forme z = a + bi ,
où a et b sont des nombres réels.
L’ensemble des nombres complexes se note C.
Exemple : 2 i , 1 − 3 i ,
p
2 i ,
i... sont des nombres complexes.
Définition 2 : Soit z = a + bi.
On appelle partie réelle de z le nombre a, il se note Re(z).
On appelle partie imaginaire de z le nombre b, il se note Im(z).
Remarque : On appelle cette écriture a + bi la forme algébrique de z.
2) Règles de calcul
Les règles de calcul que l’on connaît déjà restent valables pour les nombres complexes, il suffit juste d’y
ajouter : i
2 = −1.
Proposition 1 : Pour z = a + bi et z
′ = a
′
′ i on a :
z = z
′ si et seulement si
a = a
′
b = b
z + z
′ = (a + a
′ ) + (b + b
′ )i ,
5 z = 5 a + 5 bi , (de même avec 2,-4.. .)
z×z
′ = (aa
′ − bb
′ ) + (ab
′
′ b)i. (il suffit de faire le calcul)
Exemple : Pour z = 2 + 3 i et z
′ = − 1 + 4 i , calculer z 2 = 2 z + 3 z
′ et z 3 = (z + 1)(i + z).
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3) Conjugué
Définition 3 : On appelle conjugué de z le nombre noté z défini par z = a − bi.
Exemple : On a 1 − 2 i = 1 + 2 i.
Remarque : La quantité conjugué permet de voir
z
comme un nombre complexe lui aussi.
Proposition 2 : Pour z et z
′ deux nombres complexes on a :
- z + z ′ = z + z ′ , • zz ′ = z×z ′ , •
z
′
z
′
z
z
′
z
z
′
II. Géométrie et nombres complexes
1) Point image - Affixe
On munit le plan d’un repère orthonormal
O ;
u ;
v
Définition 4 : On appelle affixe de M
x ; y
le nombre z = x + yi.
Inversement, on peut associer au nombre complexe
z = a + bi son point image M (^) (a ; b).
On appelle affixe de
w
x
′ ; y
′
le nombre z = x
′
′ i.
b
O −→ i
j
M (x + yi )
w
x
′
y
′
x
y
Proposition 3 : Soient M 1 et M 2 deux points du plan d’affixes respectives z 1 et z 2. On a alors :
z 2 − z 1 est l’affixe de
M 1 M 2.
Soient
w et
t deux vecteurs d’affixes z −→ w et z −→ t. On a alors :
5 z −→ w est l’affixe de 5
w (de même avec 2,-4.. .)
z −→ w + z −→ t est l’affixe de
w +
t.
