Télécharge Notes de sciences mathèmatiques 5 - 1° partie et plus Notes au format PDF de Mathématiques Appliquées sur Docsity uniquement!
Première S mars 2007
Olympiades académiques de mathématiques
- Exercices communs 1
- Amiens 3
- Besançon 4
- Bordeaux 5
- Caen 5
- Clermont Ferrand 7
- Créteil 8
- Corse (*) 9
- Dijon 9
- Grenoble 10
- Limoges (*) 11
- Lille 11
- Marseille 14
- Montpellier 15
- Nancy-Metz 17
- Nice 18
- Orléans Tours (*) 20
- Paris 20
- Poitiers 26
- Rennes (*) 27
- Strasbourg 27
- Toulouse 28
- Versailles 29
Les sujets des académies accompagnées de (*) ne me sont pas connus.
1. Exercices communs
1-a : Un problème de tas
On dispose de 7 objets que l’on répartit en autant de tas que l’on veut, chaque tas contenant autant d’objets que l’on veut.
Une manipulation consiste à enlever un objet de chaque tas et à faire un nouveau tas des objets ainsi récupérés.
Exemple : une répartition possible au départ sera notée (4, 3) elle signifie qu’on a deux tas, l’un de 4 objets et l’autre de 3 objets après une manipulation, on obtiendra donc la répartition (3, 2, 2).
Avertissement : on considère que les répartitions (4, 3) et (3, 4) sont identiques. De même les répartitions (3, 2, 2), (2, 3, 2) et (2, 2, 3) sont identiques.
- On place les 7 objets en un seul tas ; la répartition est donc (7).
Quelle répartition obtiendra-t-on après 3 manipulations? Après 7 manipulations? Après 11 manipulations? Après 2007 manipulations?
- Ici, on ne connaît pas la répartition initiale, mais après 2007 manipulations, on obtient la répartition (4,2,1).
Indiquer toutes les répartitions initiales possibles.
- Paul et Virginie jouent ensemble.
Au départ, Paul dispose les objets sans montrer la répartition à Virginie. Puis il simule sur son ordinateur 2007 manipulations et ne montre à Virginie que la répartition finale. Il demande alors à Virginie de deviner la répartition initiale.
Virginie réfléchit et avoue ne pas savoir répondre car elle hésite entre trois répartitions.
Sachant que Virginie a raisonné correctement, quelle répartition finale a-t-elle vue?
Correction
Le graphe ci-dessous donne l’évolution des répartitions à partir d’une répartition quelconque :
Question 1
En partant de la répartition (7), en trois manipulations on obtient la répartition (4,2,1). Puis quatre manipulations redonnent à nouveau (4,2,1) et ainsi de suite. Comme 2007 = 501 x 4 + 3 , après 2007 manipulations, on aura encore la répartition (4,2,1).
Questions 2 et 3
On raisonne de même qu’en question 1, mais en sens contraire et en tenant compte du fait qu’au bout de quelques manipulations on rentre dans le cycle des quatre répartitions en vert sur le graphique, et que par ailleurs 2007 manipulations reviennent en général à 3 manipulations. Pour chacune des quatre répartitions du cycle (en vert), on peut déterminer quelles répartitions initiales permettent d’y aboutir en 2007 (c’est-à-dire en 3) manipulations. Il suffit donc de remonter de trois flèches. On obtient donc le résultat suivant :
Les répartitions initiales suivantes… aboutissent en 2007 manipulations à (7) (2,1,1,1,1,1) (3,3,1) (4,3) (4,2,1) (6,1) (3,1,1,1,1) (3,2,2) (3,3,1) (5,2) (3,2,1,1) (2,2,1,1,1) (2,2,2,1) (3,2,2) (4,2,1) (5,1,1) (4,1,1,1) ((1,1,1,1,1,1,1) (3,2,1,1)
Ainsi pour la question 2 :
Les répartitions initiales suivantes… aboutissent en 2007 manipulations à (7) (2,1,1,1,1,1) (3,3,1) (4,3) (4,2,1)
Et pour la question 3, seule la répartition finale (3,3,1) pouvait faire hésiter Virginie entre trois répartitions initiales.
1-b : Des trapèzes de même aire
Le but de cet exercice est de déterminer les trapèzes rectangles qui, sous certaines conditions de distances et d’angles, sont partagés en deux trapèzes de même aire par une parallèle donnée à leurs bases.
- Question préliminaire :
Existe-t-il un couple d’entiers naturels m p , tel que : m^2^ p^2 8?
En existe-t-il plusieurs?
2-b : Exercice 4 (Série S)
On dispose d’un ensemble de 5 entiers. Si on les ajoute deux à deux, on obtient les dix sommes suivantes :
2001, 2006, 2007, 2008, 2009, 2014, 2017, 2018, 2023, 2025.
Quels sont ces 5 nombres?
2-c : Exercice 4 ( Série ES)
Soient quatre réels a, b, c, d tels que a < b < c <d.
On pose x = ( a + b ) ( c + d ), y = ( a + c ) ( b + d ), z =( a + d ) ( b+ c ).
Comparer les nombres x , y et z.
2-d : Exercice 4 (Séries STI- STL)
On considère un parallélogramme ABCD et les bissectrices des angles au sommet : A, B, Cet D.
Déterminer la nature du quadrilatère dont les sommets sont les points d’intersection de ces bissectrices deux à deux.
http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/ correction : http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/new/Olympiade/Olympiades2007/corrigee_exercices_academiques_2007.pdf
3. Besançon
3-a : Exercice 3 : le jardin
Mon jardin est un rectangle ABCD. J’y ai planté un arbre avec un tronc très fin.
Mon arbre est situé exactement à 4 mètres de A, à 5,1 mètres de B et à 7,5 mètres de C.
A quelle distance de D se trouve-t-il?
3-b : Exercice 4 : les dés
On appelle dé-numérique un dé à six faces, sur lesquelles sont écrits six chiffres différents pris parmi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (ou 9), 7, 8.
On dit que deux dés-numériques sont semblables s’ils vérifient les deux conditions suivantes :
Les six chiffres écrits sur le premier dé sont les mêmes que les six chiffres écrits sur le second.
Lorsqu’on pose les deux dés sur une face ayant le même chiffre, on lit sur la face opposée deux chiffres identiques, et ceci quelle que soit la face sur laquelle on pose les dés.
Enfin, on dit que deux dés-numériques sont distincts s’ils ne sont pas semblables.
- Combien existe-t-il de dés-numériques distincts dont les faces sont 1, 2, 3, 4, 5, 6?
- Montrer que l’on peut construire deux dés-numériques qui, placés l’un contre l’autre, permettent d’obtenir toutes les dates d’un mois quelconque de l’année :
01, 02, 03, …, 29, 30, 31.
On énumérera les chiffres portés par les faces de chacun des deux dés.
- Combien existe-t-il de paires de dés-numériques possédant la propriété de la question précédente? (On considère que deux paires sont identiques lorsque les deux dés de la première paire sont semblables aux deux dés de la deuxième paire.)
- Déterminer le plus grand entier N tel que l’on peut obtenir tout entier inférieur ou égal à N, à l’aide de deux dés-numériques.
correction : http://artic.ac-besancon.fr/mathematiques/Olympiades-1S/index.htm
4. Bordeaux
4-a : Le plus grand produit
N est un entier naturel non nul. Il se décompose de plusieurs façons comme somme d’entiers naturels. Pour chacune de ces décompositions, on effectue le produit des entiers non nuls et on note P ( N ) le plus grand produit réalisé parmi toutes les décompositions de N.
Par exemple, pour N = 4 :
Décomposition Produit 1 + 1 + 1 + 1 1 1 + 1 + 2 2 2 + 2 4 1 + 3 3 0 + 4 4
Ainsi P (4) = 4.
- Montrer que quel que soit l’entier N , on a P ( N +1) > P ( N ).
- Déterminer P (16), P (17), P (18) en expliquant la démarche.
- À partir de quelle valeur de N , l’entier P ( N ) dépasse-t-il 2007?
4-b : Dans un triangle
Soit un triangle ABC dont tous les angles sont aigus. M est un point du segment [ BC ], P et Q désignent les projetés orthogonaux respectifs de M sur les droites ( AC ) et ( AB ).
- Montrer que si le point M est sur le diamètre issu de A du cercle circonscrit au triangle ABC , alors la droite ( PQ ) est parallèle à ( BC ).
- a. Montrer que les points A , Q , M et P sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
b. Montrer que PQ AM sin BAC.
c. En déduire toutes les positions du point M pour lesquelles la somme des diagonales du quadrilatère AQMP est minimale.
- Déterminer toutes les positions du point M pour lesquelles l’aire du quadrilatère AQMP est maximale.
Correction : http://webetab.ac-bordeaux.fr/Pedagogie/Maths/elv/jeux/olymp2007/olymp2007_cor.pdf
5. Caen
5-a : Le rugby
Pour les candidats de la série S
Questions préliminaires
Sur une droite (D), on place dans cet ordre trois points A, B et H distincts deux à deux et ( ) une droite perpendiculaire à (D) en H. On trace un cercle (C) de rayon R qui vérifie les deux conditions :
- il passe par A et B
- il coupe la droite ( ) en deux points M et N.
- Comparer les angles AMBet ANB. (Justifier)
- Peut-on trouver une solution pour n = 9? Pour n = 16? Pour n = 25?
- Soit k , p , q , r des entiers strictement positifs.
Prouver que si p^2^ , q^2^ , r^2 est une solution du problème alors
2 2 2 kp , kq , kr en est une autre.
- En déduire trois solutions du problème.
- Trouver une solution du problème telle que n + a = 529.
5. On cherche toutes les solutions de la forme 1, q^2^ , r^2 .
A l’aide d’une calculatrice, trouver toutes les solutions telles que q 250.
5-c : Des triangles équilatéraux
Pour les candidats de toutes les séries sauf S
Soit A B C 0 0 0 un triangle équilatéral tel que A B 0 0 = 1 (exprimé en unité de longueur).
On définit les points A 1 , B 1 et C 1 les milieux respectifs des côtés A B 0 0 , B C 0 0 et C A 0 0 , puis les
points A 2 , B 2 et C 2 les milieux respectifs des côtés A B 1 1 , B C 1 1 et C A 1 1 , et ainsi de suite, on
définit les points An , Bn et Cn.
1. Montrer que C 2 puis A 2 appartiennent à la droite A B 0 1 .
- Soit an l’aire du triangle A B Cn n n. Existe-t-il un entier naturel n tel que an =
- Montrer que tous les triangles A B Cn n n ont le même centre de gravité G.
- Déterminer le plus petit entier naturel n 0 tel que le triangle An (^) 0 (^) Bn (^) 0 (^) Cn 0 soit à l’intérieur du cercle de
centre G et de rayon 10 ^3.
Corrigés : http://www.discip.crdp.ac-caen.fr/maths/olympiad/olympiad07/sujets07.htm
6. Clermont Ferrand
6-a : Qui joue gagne!
- Le système de numération que nous utilisons usuellement est le système décimal ou système à base dix.
On utilise pour écrire les nombres 10 chiffres qui sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 et 9.
Dans cette base, l’écriture 2007 signifie que ce nombre est égal à : 2 103 0 10 2 0 101 7.
Mais on peut choisir d’autres bases, par exemple la base six. On utilise alors pour écrire les nombres seulement les chiffres de 0 à 5.
Par exemple, le nombre qui s’écrit 13143 en base six s’écrit 1 6 4 3 6 2 1 62 4 61 3 2007 en base dix. On admet qu’un nombre écrit en base dix admet une écriture unique en base six.
Ecrire en base six le nombre qui s’écrit 3779 en base dix.
- Olympe Hyade joue dans un casino. Elle vient de mettre au point une méthode, qui consiste à jouer 6 fois de suite 1 euro le premier jour, 6 fois de suite 6 euros le deuxième jour, 6 fois de suite 36 euros le troisième jour, 6 fois de suite 216 euros le quatrième jour et 6 fois de suite 1296 euros le cinquième jour. Si elle gagne à un jeu, on lui rend sa mise plus deux fois sa mise, et si elle perd, elle perd sa mise.
Aucune journée ne l’a vu ni perdre tous les jeux, ni gagner tous les jeux.
a. Quel est le gain maximal qu’Olympe Hyade peut espérer à l’issue de ces cinq jours?
b. Quelle est la perte maximale qu’elle peut subir?
c. Après cinq jours, elle a gagné 2007 euros. Combien de fois a-t-elle gagné pendant ces 5 jours?
d. Pouvait-t-elle gagner 10 000 euros?
6-b : Dans mon livre de maths…
A traiter par les candidats de la série S
Les pages de mon livre de maths sont numérotées de un en un : page 1, page 2, page 3 …etc.
J’ai additionné tous les numéros de page et j’ai obtenu une somme égale à 2007. Mais j’ai compté deux fois un numéro de page. Lequel?
6-c : Dans mon livre de maths…
A traiter par les candidats des séries L, ES, STI, STL, STG, SMS.
Ma grand-mère m’a dit qu’à mon âge, elle avait un livre de maths comportant 300 pages et qu’elle en avait compris 95%.
En fouillant dans le grenier, j’ai retrouvé ce livre : des pages avaient été rongées par des souris, mais heureusement, la partie non comprise par ma grand-mère était intacte.
J’ai lu 90% des pages conservées et il ne me reste plus que la fameuse partie non comprise par ma grand-mère. Au fait combien de pages ont été rongées par des souris?
Correction :
http://www3.ac-clermont.fr/pedago/maths/pages/olympiade2007/Olympiades_academiques_de_mathematiques_2007- correction.htm
7. Créteil
7-a : Le collier de perles
Un collier est composé de n perles de rayon r.
Hypothèse : il y a suffisamment de perles pour que l’on puisse schématiser le collier comme la figure ci- dessous et donc considérer que la longueur de fil du collier (représenté en pointillés) nécessaire pour chaque perle est égale à 2 r.
Calculer alors le rayon R du collier en fonction de n et r.
Que pensez-vous de la validité de l’hypothèse choisie ci-dessus quand n 10 , quand n 20?
7-b : Cercle sur quadrillage
(cette feuille est à rendre avec la copie)
Dans un plan on dispose de damiers carrés de n cases de côté ( n 2 ), toutes les cases étant des carrés dont le côté est pris comme unité de longueur.
Sur chaque damier, l’objectif est de tracer un cercle qui traverse le plus grand nombre possible de cases. On considère qu’un cercle traverse une case s’il passe à l’intérieur de celle-ci.
- Sur le damier 4 4 représenté ci-dessous, on a tracé un cercle qui traverse neuf cases. Peut-on entracer un qui traverse davantage de case? Si oui, dessiner un tel cercle sur le damier de droite. Quel peut-être le nombre maximal de case traversées? Justifier la réponse.
- Un marchand ayant raccourci un fléau de 10 % avait réalisé dans la journée 180 pesées d’un kilogramme, en suivant la règle de Diophante. Quelle quantité d’orge avait-il perdue?
- Même question pour un marchand ayant raccourci un fléau de 20 %, après avoir réalisé 160 pesées d’un kilogramme.
- Montrer qu’avec la règle de pesée de Diophante, tout fléau raccourci cause un préjudice à son auteur, après un nombre pair de pesées.
9-b : Une fonction
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0, 1] par :
2 si 0 2 1 2 2 si 1 2
f x x x
f x x x
- Représenter graphiquement la fonction f et montrer que si 0 x 1 , alors 0 f (^) x 1.
- Un nombre x 0 (^) 0, 1étant choisi, on fabrique une suite de nombres en posant :
x 1 (^) f (^) x 0 (^) , x 2 (^) f (^) x 1 (^) , x 3 (^) f (^) x 2 .
- Où l’on étudie quelques cas particuliers.
a. On pose 0
x . Montrer que la suite obtenue est constante à partir de x 5.
b. On pose 0
x . Ecrire les 5 premiers termes de la suite obtenue et en déduire la valeur de x 2007.
c. Peut-on trouver une valeur de x 0 telle que la suite de nombres se répète tous les 7 termes? Tous les p termes ( p étant un entier non nul quelconque)?
- Montrer que si x 0 est un nombre rationnel, la suite de nombres est périodique (c’est-à-dire qu’elle se répète à partir d’un certain rang).
Correction : http://webpublic.ac-dijon.fr/pedago/maths/index.html
10. Grenoble
10-a : Chute des corps
Une urne a la forme d’un paraboloïde de révolution de hauteur 9 cm. La section de ce paraboloïde par un plan passant par son axe est la parabole dont une équation dans un repère orthonormal bien choisi
est y x^2.
