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Les programmes de mathématiques des classes préparatoires scientifiques MPSI, PCSI, PTSI, MP2I, MP, PC, PSI, PT,. MPI sont conçus comme un socle cohérent et ...
Typologie: Notes
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© Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013 http://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr
Programme de mathématiques
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La modélisation contribue ainsi de façon essentielle à l’unité de la formation scientifique et valide les approches interdisciplinaires. À cet effet, il importe de promouvoir l’étude de questions mettant en œuvre des interactions entre les différents champs de connaissance scientifique (mathématiques et physique, mathématiques et chimie, mathématiques et sciences industrielles, mathématiques et informatique). Représenter Un objet mathématique se prête en général à des représentations issues de différents cadres ou registres : algébrique, géométrique, graphique, numérique. Élaborer une représentation, changer de cadre, traduire des informations dans plusieurs registres sont des composantes de cette compétence. Ainsi, en analyse, le concept de fonction s’appréhende à travers diverses représentations (graphique, numérique, formelle) ; en algèbre, un problème linéaire se prête à des représentations de nature géométrique, matricielle ou algébrique ; un problème de probabilités peut recourir à un arbre, un tableau, des ensembles. Le recours régulier à des figures ou à des croquis permet de développer une vision géométrique des objets abstraits et favorise de fructueux transferts d’intuition. Raisonner, argumenter La pratique du raisonnement est au cœur de l’activité mathématique. Basé sur l’élaboration de liens déductifs ou inductifs entre différents éléments, le raisonnement mathématique permet de produire une démonstration, qui en est la forme aboutie et communicable. La présentation d’une démonstration par le professeur (ou dans un document) permet aux étudiants de suivre et d’évaluer l’enchaînement des arguments qui la composent ; la pratique de la démonstration leur apprend à créer et à exprimer eux-mêmes de tels arguments. L’intérêt de la construction d’un objet mathématique ou de la démonstration d’un théorème repose sur ce qu’elles apportent à la compréhension-même de l’objet ou du théorème : préciser une perception intuitive, analyser la portée des hypothèses, éclairer une situation, exploiter et réinvestir des concepts et des résultats théoriques. Calculer, manipuler des symboles, maîtriser le formalisme mathématique Le calcul et la manipulation des symboles sont omniprésents dans les pratiques mathématiques. Ils en sont des composantes essentielles, inséparables des raisonnements qui les guident ou qu’en sens inverse ils outillent. Mener efficacement un calcul simple fait partie des compétences attendues des étudiants. En revanche, les situations dont la gestion manuelle ne relèverait que de la technicité seront traitées à l’aide d’outils de calcul formel ou numérique
. La maîtrise des méthodes de calcul figurant au programme nécessite aussi la connaissance de leur cadre d’application, l’anticipation et le contrôle des résultats qu’elles permettent d’obtenir. Communiquer à l’écrit et à l’oral La phase de mise au point d’un raisonnement et de rédaction d’une solution permet de développer les capacités d’expression. La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements, constituent des objectifs très importants. La qualité de structuration des échanges entre le professeur et sa classe, entre le professeur et chacun de ses étudiants, entre les étudiants eux-mêmes, doit également contribuer à développer des capacités de communication (écoute et expression orale) à travers la formulation d’une question, d’une réponse, d’une idée, d’hypothèses, l’argumentation de solutions ou l’exposé de démonstrations. Les travaux individuels ou en petits groupes proposés aux étudiants en dehors du temps d’enseignement, au lycée ou à la maison, (interrogations orales, devoirs libres, comptes rendus de travaux dirigés ou d’interrogations orales) contribuent fortement à développer cette compétence. La communication utilise des moyens diversifiés : les étudiants doivent être capables de présenter un travail clair et soigné, à l’écrit ou à l’oral, au tableau ou à l’aide d’un dispositif de projection.
L’intégration des compétences à la formation des étudiants permet à chacun d’eux de gérer ses propres apprentissages de manière responsable en repérant ses points forts et ses points faibles, et en suivant leur évolution. Les compétences se recouvrent largement et il importe de les considérer globalement : leur acquisition doit se faire dans le cadre de situations suffisamment riches pour nécessiter la mobilisation de plusieurs d’entre elles.
Il est important de mettre en valeur l’interaction entre les différentes parties du programme, tant au niveau du cours que des thèmes des travaux proposés aux étudiants. À titre d’exemples, la géométrie apparaît à la fois comme un terrain propice à l’introduction de l’algèbre linéaire, mais aussi comme un champ d’utilisation des concepts développés dans ce domaine du programme ; les probabilités utilisent le vocabulaire ensembliste et illustrent certains résultats d’analyse. Selon Galilée, fondateur de la science expérimentale, le grand livre de la nature est écrit en langage mathématique. Il n’est donc pas surprenant que les mathématiques interagissent avec des champs de connaissances partagés par d’autres disciplines. La globalité et la complexité du réel exigent le croisement des regards disciplinaires. Aussi le programme valorise-t-il l’interprétation des concepts de l’analyse, de l’algèbre linéaire, de la géométrie et des probabilités en termes de paramètres modélisant l’état et l’évolution de systèmes mécaniques, physiques ou chimiques (mouvement, vitesse et accélération, signaux continus ou discrets, mesure de grandeurs, incertitudes...)
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Mathématiques PTSI
La coopération des enseignants d’une même classe ou d’une même discipline et, plus largement, celle de l’ensemble des enseignants d’un cursus donné, doit contribuer de façon efficace et cohérente à la qualité de ces interactions. Il importe aussi que le contenu culturel et historique des mathématiques ne soit pas sacrifié au profit de la seule technicité. En particulier, il peut s’avérer pertinent d’analyser l’interaction entre un contexte historique et social donné, une problématique spécifique et la construction, pour la résoudre, d’outils mathématiques.
L’année est découpée en deux semestres. À l’intérieur de chaque semestre, un équilibre est réalisé entre les différents champs du programme : analyse, algèbre, géométrie. S’y ajoute, au deuxième semestre, une introduction limitée d’un enseignement de probabilités visant à consolider les notions figurant dans le programme de Terminale S et à préparer celles qui seront ultérieurement introduites dans les grandes écoles ou les universités. L’étude de chaque domaine permet de développer des aptitudes au raisonnement et à la modélisation et d’établir des liens avec les autres disciplines. En cohérence avec l’introduction d’un enseignement d’algorithmique au lycée, le programme encourage la démarche algorithmique et le recours à l’outil informatique (calculatrices, logiciels). Il identifie un certain nombre d’algorithmes qui doivent être connus et pratiqués par les étudiants. Ceux-ci doivent également savoir utiliser les fonctionnalités graphiques des calculatrices et des logiciels.
Afin de contribuer au développement des compétences de modélisation et de représentation, le programme préconise le recours à des figures géométriques pour aborder l’algèbre linéaire, les espaces euclidiens, les fonctions de variable réelle. Les notions de géométrie affine et euclidienne étudiées au lycée sont reprises dans un cadre plus général. Le programme d’algèbre comprend deux volets. Le premier est l’étude de l’arithmétique des entiers naturels et des polynômes à une indéterminée. Le second, nettement plus volumineux, est consacré aux notions de base de l’algèbre linéaire, pour laquelle un équilibre est réalisé entre les points de vue géométrique et numérique. Il importe de souligner le caractère général des méthodes linéaires, notamment à travers leurs interventions en analyse et en géométrie. Le programme d’analyse est centré autour des concepts fondamentaux de fonction et de suite. Les interactions entre les aspects discret et continu sont mises en valeur. Le programme d’analyse combine l’étude de problèmes qualitatifs et quantitatifs, il développe conjointement l’étude du comportement global de suite ou de fonction avec celle de leur comportement local ou asymptotique. À ce titre, les méthodes de l’analyse asymptotique font l’objet d’un chapitre spécifique, qui est exploité ultérieurement dans l’étude des séries. Pour l’étude des solutions des équations, le programme allie les problèmes d’existence et d’unicité, les méthodes de calcul exact et les méthodes d’approximation. La pratique de calculs simples permet aux étudiants de s’approprier de manière effective les notions du programme. Le choix a donc été fait d’introduire très tôt un module substantiel visant à consolider les pratiques de calcul (dérivation des fonctions, calcul de primitives, résolution de certains types d’équations différentielles). Les théories sous-jacentes sont étudiées ultérieurement, ce qui doit en faciliter l’assimilation. Les étudiants doivent savoir mettre en œuvre directement (c’est-à-dire sans recourir à un instrument de calcul), sur des exemples simples, un certain nombre de méthodes de calcul, mais aussi connaître leur cadre d’application et la forme des résultats qu’elles permettent d’obtenir. L’enseignement des probabilités se place dans le cadre des univers finis. Il a vocation à interagir avec le reste du programme. La notion de variable aléatoire permet d’aborder des situations réelles nécessitant une modélisation probabiliste. Le volume global du programme a été conçu pour libérer des temps dédiés à une mise en activité effective des étudiants, quel que soit le contexte proposé (cours, travaux dirigés).
Les programmes définissent les objectifs de l’enseignement et décrivent les connaissances et les capacités exigibles des étudiants ; ils précisent aussi certains points de terminologie et certaines notations. Ils fixent clairement les limites à respecter tant au niveau de l’enseignement que des épreuves d’évaluation, y compris par les opérateurs de concours. À l’intérieur de chaque semestre, le programme est décliné en chapitres. Chaque chapitre comporte un bandeau définissant les objectifs essentiels et délimitant le cadre d’étude des notions qui lui sont relatives et un texte présenté en deux colonnes : à gauche figurent les contenus du programme (connaissances et méthodes) ; à droite un commentaire indique les capacités exigibles des étudiants, précise quelques notations ainsi que le sens ou les limites à donner à certaines questions. À l’intérieur de chaque semestre, le professeur conduit en toute liberté, dans le respect de la cohérence de la formation globale, l’organisation de son enseignement et le choix de ses méthodes. En particulier, la chronologie retenue dans la présentation des différents chapitres de chaque semestre ne doit pas être interprétée comme un modèle de progression. Cependant, la progression retenue au cours du premier semestre doit respecter les
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Mathématiques PTSI
Le premier semestre vise deux objectifs majeurs :
Ce chapitre regroupe le vocabulaire, les notations et les modes de raisonnement nécessaires aux étudiants pour la conception et la rédaction efficace d’un texte mathématique. Ils doivent être introduits de manière progressive et être acquis en fin de premier semestre. Le programme se limite à une approche naïve des notions d’ensemble et d’application. En particulier, toute étude systématique de la logique ou de la théorie des ensembles est exclue. L’algèbre générale ne figure pas au programme. Plusieurs groupes classiques étant rencontrés en algèbre linéaire, la terminologie associée peut être utilisée mais aucune connaissance théorique sur cette structure n’est exigible.
CONTENUS CAPACITÉS & COMMENTAIRES
a) Rudiments de logique
Quantificateurs. Les étudiants doivent savoir employer les quantificateurs pour formuler de façon précise certains énoncés et leur négation. En revanche, l’emploi des quantificateurs en guise d’abréviations est exclu. Implication, contraposition, équivalence. Modes de raisonnement : raisonnement par récurrence, par contraposition, par l’absurde, par analyse-synthèse.
Toute construction et toute axiomatique de N sont hors programme. Le raisonnement par analyse-synthèse est l’occasion de préciser les notions de condition nécessaire et de condition suffisante.
b) Ensembles
Appartenance, inclusion. Sous-ensembles (ou parties) d’un ensemble, ensemble vide. Opérations sur les parties d’un ensemble : réunion, inter- section, complémentaire.
Notations Ÿ AE , A , E \ A. Les étudiants doivent maîtriser le lien entre connecteurs logiques et opérations ensemblistes.
Produit cartésien de deux ensembles, d’un nombre fini d’ensembles. Ensemble des parties d’un ensemble.
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Mathématiques PTSI
c) Applications et relations d’équivalence
Application d’un ensemble non vide E dans un ensemble non vide F ; graphe d’une application.
Le point de vue est intuitif : une application de E dans F associe à tout élément de E un unique élément de F. Notations F ( E , F ) et F E^ pour l’ensemble des applications de E dans F. Famille d’éléments d’un ensemble E indexée par un en- semble fini. Fonction indicatrice d’une partie A d’un ensemble E. Notation (^1) A. Restriction. Notation f | A. Image directe. Notation f ( A ). Image réciproque. Notation f −^1 ( B ). Composition. Injection, surjection. Composée de deux injections, de deux surjections. Bijection, réciproque. Composée de deux bijections, réci- proque de la composée. Relation d’équivalence, classes d’équivalence. La notion d’ensemble quotient est hors programme.
L’objectif de ce chapitre est de consolider et d’approfondir les acquis du cycle terminal. Le programme combine plusieurs aspects :
CONTENUS CAPACITÉS & COMMENTAIRES
a) Nombres complexes
Parties réelle et imaginaire. La construction de C n’est pas exigible. Opérations sur les nombres complexes. Conjugaison, compatibilité avec les opérations. Point du plan associé à un nombre complexe, affixe d’un point du plan, affixe d’un vecteur du plan.
On identifie C au plan usuel muni d’un repère ortho- normé direct.
b) Module d’un nombre complexe
Module. Interprétation géométrique de | z − z ′|, cercles et disques. Relation | z |^2 = z z , module d’un produit, d’un quotient. Inégalité triangulaire, cas d’égalité.
c) Nombres complexes de module 1 et trigonométrie
Cercle trigonométrique. Paramétrisation par les fonctions circulaires.
Notation U. Les étudiants doivent savoir retrouver des formules du type cos( π − x ) = − cos( x ) et résoudre des équations et inéquations trigonométriques en s’aidant du cercle trigo- nométrique. Définition de ei t^ pour t réel. Si t et t ′^ sont deux réels, alors : ei( t^ + t^
′) = ei t^ ei t^
′
. Factorisation de 1 ± ei t^. Les étudiants doivent savoir fac- toriser des expressions du type cos( p ) + cos( q ). Formules exigibles : cos( a ± b ), sin( a ± b ), cos(2 a ), sin(2 a ), cos( a ) cos( b ), sin( a ) sin( b ), cos( a ) sin( b ). Fonction tangente. Notation tan. Formule tan( a ± b ).
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Mathématiques PTSI
Ce chapitre a pour but de présenter quelques notations et techniques fondamentales de calcul algébrique, notamment en vue de l’enseignement de la combinatoire et des probabilités.
CONTENUS CAPACITÉS & COMMENTAIRES
a) Sommes et produits
Somme et produit d’une famille finie de nombres com- plexes.
Notations
i ∈ I
ai ,
∑^ n i = 1
ai ,
i ∈ I
ai ,
∏^ n i = 1
ai.
Sommes et produits télescopiques, exemples de change- ments d’indices et de regroupements de termes. Somme d’une progression arithmétique ou géométrique finie de nombres complexes. Factorisation de an^ − bn^ pour n ∈ N∗. Sommes doubles. Produit de deux sommes finies. Sommes triangulaires.
b) Coefficients binomiaux et formule du binôme
Factorielle. Coefficients binomiaux. Notation
n p
Relation
n p
n n − p
Formule et triangle de Pascal. Lien avec la méthode d’obtention des coefficients bino- miaux utilisée en classe de Première. Formule du binôme dans C.
Le point de vue adopté dans ce chapitre est principalement pratique : il s’agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en œuvre des techniques de l’analyse, en particulier celles de majoration. Les définitions précises et les constructions rigoureuses des notions de calcul différentiel ou intégral utilisées sont différées à un chapitre ultérieur. Cette appropriation en deux temps est destinée à faciliter les apprentissages. Les objectifs de formation sont les suivants :
A - Inégalités dans R
Relation d’ordre sur R. Compatibilité avec les opérations. Intervalles de R. Exemples de majoration et de minoration de sommes, de produits et de quotients. Valeur absolue. Inégalité triangulaire. Interprétation sur la droite réelle d’inégalités du type | x − a | … b. Parties majorées, minorées, bornées. Majorant, minorant ; maximum, minimum.
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Mathématiques PTSI
B - Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles ou complexes
a) Généralités sur les fonctions
Ensemble de définition. Représentation graphique d’une fonction f à valeurs réelles.
Graphes des fonctions x 7 → f ( x ) + a , x 7 → f ( x + a ), x 7 → f ( a − x ), x 7 → f ( ax ), x 7 → a f ( x ). Résolution graphique d’équations et d’inéquations du type f ( x ) = λ et f ( x ) … λ. Parité, imparité, périodicité. Interprétation géométrique de ces propriétés. Somme, produit, composée. Monotonie. Bijectivité, réciproque d’une bijection. Graphe d’une réciproque. Fonctions majorées, minorées, bornées. Traduction géométrique de ces propriétés. Une fonction f est bornée si et seulement si | f | est majo- rée.
b) Dérivation
Équation de la tangente en un point. Dérivée d’une combinaison linéaire, d’un produit, d’un quotient, d’une composée.
Ces résultats sont admis à ce stade.
stade, toute théorie sur les fonctions de plusieurs va- riables est hors programme. Tableau de variation. Dérivée d’une réciproque. Interprétation géométrique de la dérivabilité et du calcul de la dérivée d’une bijection réciproque. Dérivées d’ordre supérieur.
c) Étude d’une fonction
Détermination des symétries et des périodicités afin de réduire le domaine d’étude, tableau de variations, asymp- totes verticales et horizontales, tracé du graphe.
Application à la recherche d’extremums et à l’obtention d’inégalités.
d) Fonctions usuelles
Étude des fonctions exponentielle, cosinus et sinus hy- perboliques, logarithme népérien, puissances.
Dérivée, variation et graphe. Les fonctions puissances sont définies sur R∗+ et prolon- gées en 0 le cas échéant. Seules les fonctions puissances entières sont en outre définies sur R∗−. Relations ( x y ) α^ = xα^ yα , xα + β^ = xαxβ , ( xα ) β^ = xαβ. Fonction logarithme décimal. Notation log ou log 10.
Croissances comparées des fonctions logarithme, puis- sances et exponentielle.
Fonctions circulaires réciproques. Notations Arcsin, Arccos, Arctan. La fonction tangente hyperbolique et les fonctions hyper- boliques réciproques sont hors programme.
e) Dérivation d’une fonction complexe d’une variable réelle
Dérivée d’une fonction à valeurs complexes. La dérivée est définie via les parties réelle et imaginaire. Dérivée d’une combinaison linéaire, d’un produit, d’un quotient.
Brève extension des résultats sur les fonctions à valeurs réelles. Dérivée de exp( ϕ ) où ϕ est une fonction dérivable à va- leurs complexes.
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Mathématiques PTSI
Principe de superposition. Existence et unicité de la solution d’un problème de Cau- chy.
La démonstration de ce résultat est hors programme.
et de systèmes mécaniques linéaires.
L’objectif est d’énoncer les propriétés fondamentales de la droite réelle, et de les appliquer à l’étude des suites, qui interviennent en mathématiques tant pour leur intérêt pratique (modélisation de phénomènes discrets) que théorique (approximation de nombres réels). On distingue les aspects qualitatifs (monotonie, convergence, divergence) des aspects quantitatifs (majoration, encadrement, vitesse de convergence ou de divergence).
CONTENUS CAPACITÉS & COMMENTAIRES
a) Ensembles usuels de nombres
Entiers naturels, entiers relatifs, nombres décimaux, ra- tionnels. Droite réelle. La construction de R est hors programme. La relation d’ordre … sur R : majorant, minorant, maxi- mum, minimum. Borne supérieure (resp. inférieure) d’une partie non vide majorée (resp. minorée) de R. Partie entière. Notation b x c. Approximations décimales. Valeurs décimales approchées à la précision 10− n^ par défaut et par excès. Une partie X de R est un intervalle si et seulement si, pour tous a et b dans X , on a [ a , b ] ⊂ X.
b) Généralités sur les suites réelles
Modes de définition d’une suite. De façon explicite, implicite ou par récurrence. Monotonie. Suite minorée, majorée, bornée. Une suite ( un ) est bornée si et seulement si (| un |) est majorée. Exemples d’étude de la monotonie d’une suite définie par un + 1 = f ( un ).
Suites stationnaires. Suites arithmétiques, suites géométriques. Les étudiants doivent connaître une méthode de calcul du terme général d’une suite définie par un + 1 = aun + b. Suites récurrentes linéaires d’ordre deux. La démonstration sera faite dans le cours d’algèbre li- néaire.
c) Limite d’une suite réelle
Limite finie ou infinie d’une suite. Notation un → _. Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges. Lien avec la définition vue en classe de Terminale. Les étudiants doivent savoir démontrer l’existence d’une limite réelle _ en majorant | un − ` |. Unicité de la limite. Notation lim un. Suite convergente, suite divergente. Toute suite réelle convergente est bornée. Opérations sur les limites : combinaisons linéaires, pro- duit, quotient. Stabilité des inégalités larges par passage à la limite.
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d) Théorèmes d’existence d’une limite
Théorème de convergence par encadrement. Théorèmes de divergence par minoration ou majoration. Théorème de la limite monotone. Théorème des suites adjacentes.
e) Suites extraites
Suites extraites d’une suite. La notion de valeur d’adhérence est hors programme. Le théorème de Bolzano-Weierstrass est hors programme. Si une suite possède une limite (finie ou infinie), alors toutes ses suites extraites possèdent la même limite.
Utilisation des suites extraites pour montrer la divergence d’une suite.
f ) Brève extension aux suites complexes
Convergence d’une suite complexe. Traduction à l’aide des parties réelle et imaginaire. Suites complexes bornées ; toute suite complexe conver- gente est bornée. Opérations sur les suites convergentes : combinaisons linéaires, produit, quotient.
Ce chapitre est divisé en deux parties, consacrées aux limites et à la continuité pour la première, au calcul différentiel pour la seconde. On y formalise les résultats qui ont été utilisés d’un point de vue calculatoire dans le premier chapitre d’analyse. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures. Les fonctions sont définies sur un intervalle I de R non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-d), sont à valeurs réelles. Dans un souci d’unification, on dit qu’une propriété portant sur une fonction f définie sur I est vraie au voisinage de a si elle est vraie sur l’intersection de I avec un intervalle ouvert centré sur a si a est réel, avec un intervalle [ A , +∞[ si a = +∞ , avec un intervalle ]−∞, A ] si a = −∞.
A - Limites et continuité
L’essentiel du paragraphe a) consiste à adapter au cadre continu les notions déjà abordées pour les suites. Afin d’éviter des répétitions, le professeur a la liberté d’admettre certains résultats. Pour la pratique du calcul de limites, on se borne à ce stade à des calculs très simples, en attendant de pouvoir disposer d’outils efficaces (développements limités).
CONTENUS CAPACITÉS & COMMENTAIRES
a) Limite d’une fonction en un point
Étant donné un point a appartenant à I ou extrémité de I , limite finie ou infinie d’une fonction en a. Limite finie ou infinie d’une fonction en ±∞.
Notations f ( x ) (^) x −→→ a _ , _f_ ( _x_ ) (^) _x_ −→→±∞ _. Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges. Les étudiants doivent savoir démontrer l’existence d’une limite réelle _ en majorant | _f_ ( _x_ ) − _ |. Unicité de la limite. Notation lim x → a f ( x ). Si f admet une limite finie en a alors f est bornée au voisinage de a. Limite à droite, limite à gauche. Notations lim x → a x > a
f ( x ) ou lim x → a +^
f ( x ).
Extension de la notion de limite en a lorsque la fonction est définie sur I \ { a }. Opérations sur les fonctions admettant une limite finie ou infinie en a.
Adaptation des énoncés relatifs aux suites.
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B - Dérivabilité
CONTENUS CAPACITÉS & COMMENTAIRES
a) Nombre dérivé, fonction dérivée
Dérivabilité en un point, nombre dérivé. Développement limité à l’ordre 1.
modèle de comportement au voisinage d’un point de fonctionnement.
dinal au voisinage de 0.
La dérivabilité entraîne la continuité. Dérivabilité à gauche, à droite. Dérivabilité et dérivée sur un intervalle. Opérations sur les fonctions dérivables et les dérivées : combinaison linéaire, produit, quotient, composition, ré- ciproque.
Tangente au graphe d’une réciproque.
La dérivabilité entraîne la continuité. À ce stade, on peut écrire le reste sous la forme ( x − a ) ε ( x − a ) et n’introduire la notation o que plus tard. Tangente au graphe de f au point d’abscisse a.
Dérivabilité à droite, à gauche. Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle. Opérations sur les fonctions dérivables en un point, déri- vables sur un intervalle : combinaison linéaire, produit, quotient, composée, réciproque.
b) Propriétés des fonctions dérivables
Extremum local. Condition nécessaire en un point inté- rieur. Théorème de Rolle. Égalité des accroissements finis. Interprétations géométrique et cinématique. Inégalité des accroissements finis : si f est dérivable sur I et si | f ′| est bornée par M sur I , alors f est M - lipschitzienne sur I.
La notion de fonction lipschitzienne est introduite à ce stade ; elle n’appelle aucun développement supplémen- taire. Application aux suites définies par un + 1 = f ( un ).
fonction contractante. Caractérisation des fonctions constantes, croissantes, strictement croissantes parmi les fonctions dérivables. Théorème de la limite de la dérivée : si f est dérivable sur I \ { a } , continue sur I et si f ′( x ) tend vers ` (réel ou infini) lorsque x tend vers a , alors
f ( x ) − f ( a ) x − a tend vers ` lorsque x tend vers a.
Interprétation géométrique. Si _ est un nombre réel, alors _f_ est dérivable en _a_ et _f_ ′( _a_ ) = _.
c) Fonctions de classe C k
Pour k dans N∗^ ∪ {∞}, fonction de classe C k^ sur I. Opérations sur les fonctions de classe C k^ : combinaison linéaire, produit (formule de Leibniz), quotient, compo- sée, réciproque.
Les démonstrations relatives à la composition et à la réci- proque ne sont pas exigibles.
d) Fonctions complexes
Brève extension des définitions et résultats précédents. Caractérisation de la dérivabilité en termes de partie réelle et imaginaire. Interprétation cinématique.
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Mathématiques PTSI
Inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C 1.
Le résultat, admis à ce stade, sera justifié dans le chapitre « Intégration ». Il convient de montrer par un contre-exemple que le théo- rème de Rolle ne s’étend pas.
Ce chapitre est à concevoir comme une initiation aux structures algébriques et une préparation à l’algèbre linéaire « abstraite » qui sera étudiée au second semestre.
La problématique de départ est la résolution des systèmes linéaires. Elle est à la fois familière des étudiants – ils l’ont pratiquée dans l’enseignement secondaire pour de petites dimensions, par exemple en géométrie – et motivante par le nombre important de problèmes se ramenant à la résolution d’un système linéaire (méthode des différences finies, méthode des moindres carrés, etc). L’objectif majeur du sous-chapitre « A - Systèmes linéaires » est la justification et la mise en œuvre de l’algorithme de Gauss-Jordan de résolution d’un système linéaire. La recherche d’une méthode systématique de résolution d’un système linéaire par cet algorithme conduit naturellement au calcul matriciel qui recèle à la fois des propriétés inhabituelles pour les étudiants (existence de diviseurs de 0 , non commutativité) et des propiétés analogues à celles des ensembles de nombres (distributivité, etc.) qu’il convient de mettre en évidence. L’ordre d’exposition choisi ci-dessous n’est nullement impératif. On pourra aussi bien commencer par introduire le calcul matriciel puis l’appliquer à la théorie des systèmes linéaires. On veillera à respecter les objectifs de formation suivants :
A - Systèmes linéaires
a) Généralités sur les systèmes linéaires
Équation linéaire à p inconnues. Système linéaire de n équations à p inconnues.
Interprétations géométriques dans le plan et dans l’es- pace. Système homogène associé à un système linéaire. Matrice A d’un système linéaire ; matrice augmentée ( A | B ) où B est la colonne des seconds membres.
On introduit les matrices comme tableaux rectangulaires de nombres appartenant à K. Opérations élémentaires sur les lignes d’un système ou d’une matrice : échange des lignes Li et L (^) j , ajout de λ · L (^) j à Li pour i 6 = j , multiplication de Li par λ 6 = 0.
On emploiera les notations suivantes : Li ↔ L (^) j , Li ← Li + λL (^) j et Li ← λLi.
Deux systèmes sont dits équivalents si on peut passer de l’un à l’autre par une suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes. Deux systèmes équivalents ont le même ensemble de solutions. Deux matrices sont dites équivalentes par lignes si elles se déduisent l’une de l’autre par une suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes.
Notation A ∼ L
Si l’on passe d’un système S à un autre système S ′^ par une suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes, la matrice augmentée de S ′^ s’obtient en effectuant la même suite d’opérations élémentaires sur la matrice aug- mentée de S.
Ce résultat justifie la présentation matricielle de la réso- lution d’un système linéaire.
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Mathématiques PTSI
Ensemble M n (K). Puissances d’une matrice carrée. Formule du binôme.
Notation In pour la matrice identité. Le produit matriciel n’est pas commutatif.
Matrices diagonales, triangulaires. Stabilité par les opérations.
b) Opérations élémentaires de pivot et calcul matriciel
Matrices élémentaires : matrices de transvection, de transposition et de dilatation. Inversibilité des matrices élémentaires.
Interprétation des opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice au moyen des matrices élémentaires.
Traduction matricielle de l’algorithme de Gauss-Jordan : pour toute matrice rectangulaire A à coefficients dans K, il existe une matrice E produit de matrices élémentaires et une unique matrice échelonnée réduite R telles que A = E R. Brève extension des définitions et des résultats aux opé- rations élémentaires sur les colonnes d’une matrice.
Notation A ∼ C
c) Matrices carrées inversibles
Matrices carrées inversibles. Inverse. On introduit la terminologie « groupe linéaire », et la no- tation GL n (K), pour désigner l’ensemble des matrices inversibles de taille n , mais tout développement sur la notion de groupe est hors programme. Inverse d’un produit de matrices inversibles. Pour A ∈ M n (K), équivalence des propriétés suivantes : i. A est inversible ; ii. A ∼ L
In ;
iii. Le système AX = 0 n’admet que la solution nulle ; iv. Pour tout B , le système AX = B admet une unique solution ; v. Pour tout B , le système AX = B admet au moins une solution.
Calcul de l’inverse d’une matrice carrée par résolution d’un système linéaire et par la méthode du pivot de Gauss- Jordan.
d) Transposition
Transposée d’une matrice. Notations A T, t^ A. Transposée d’une somme, d’un produit, d’un inverse. Matrices symétriques et antisymétriques.
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A - Rudiments d’arithmétique dans N
Ce sous-chapitre a pour objectif de consolider la connaissance des nombres entiers et de mettre en œuvre des algorithmes élémentaires. L’ensemble N est supposé connu. Toute axiomatique de N est hors programme.
CONTENUS CAPACITÉS & COMMENTAIRES
Multiples et diviseurs d’un entier. Division euclidienne dans N.
Définition d’un nombre premier. Existence et unicité de la décomposition d’un entier supérieur ou égal à 2 en produit de facteurs premiers.
Les démonstrations de l’existence et de l’unicité sont hors programme.
B - Dénombrement
Ce sous-chapitre a pour but de présenter les bases du dénombrement, notamment en vue de l’étude des probabilités. Toute formalisation excessive est exclue. En particulier :
CONTENUS CAPACITÉS & COMMENTAIRES
a) Cardinal d’un ensemble fini
Cardinal d’un ensemble fini. Notations | A |, Card( A ), # A. Cardinal d’une partie d’un ensemble fini, cas d’égalité. Une application entre deux ensembles finis de même cardinal est bijective, si et seulement si elle est injective, si et seulement si elle est surjective. Opérations sur les cardinaux : union disjointe ou quel- conque de deux ensembles finis, complémentaire et pro- duit cartésien.
La formule du crible est hors programme.
Cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble fini dans un ensemble fini. Cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini.
b) Listes et combinaisons
Nombre de p -listes (ou p -uplets) d’éléments distincts d’un ensemble de cardinal n. Nombre d’applications in- jectives d’un ensemble de cardinal p dans un ensemble de cardinal n. Nombre de permutations d’un ensemble de cardinal n. Nombre de parties à p éléments (ou p -combinaisons) d’un ensemble de cardinal n.
Démonstrations combinatoires des formules de Pascal et du binôme.
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