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Suites numériques
29 mars 2007
I Généralités
II Suites arithmétiques
A Définition
Dans une suite arithmétique, chaque terme s’obtient en ajoutant un nombre r constant au terme précédent :
u 0 fixé, un+1 = un + r
Vocabulaire : le nombre r est appelé la raison.
Exemple 1. La suite de l’exercice 1 est définie par : u 0 = 1460 un+1 = un + 20 C’est une suite arithmétique de raison^20.
B Expression du terme général en fonction de n
Si (un) est une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r, alors, pour tout entier n positif,
un = u 0 + r × n
Exemple 2. Le terme général de la suite de l’exercice 1 s’exprime ainsi : un = 1460 + 20 × n
faire l’exercice 4
C Variations
Une suite arithmétique (un) de raison r est
- croissante si r ≥ 0
- décroissante si r ≤ 0
- constante si r = 0
Exemple 3. 1) La suite de l’exercice 1 est croissante.
- La suite de l’exercice 4 est décroissante.
D Somme des termes d’une suite arithmétique
D.1 La somme des n premiers entiers naturels :
On cherche à calculer 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n. On essaye donc d’obtenir une formule (qui dépendra de n) permettant de calculer directement la valeur de cette somme. Pour cela, on considère des petits carrés de taille 1 × 1. Chercher à calculer la somme 1 + 2 + 3 + 4, c’est la même chose que chercher à calculer l’aire de l’objet suivant :
C’est le triangle inférieur d’un carré de coté 4 , plus 4 demi-cases (ce qui dépasse de la diagonale). Or
l’aire du carré est 4 × 4 , donc 1 + 2 + 3 + 4 =
4 × 4
On procède de même pour 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n :
n
...
...
... 3 2 ... 1 1 2 3... n
Donc 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n = n^ × 2 n+ n 2. On factorise et on obtient finalement le résultat suivant :
1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n = n(n^2 + 1)
D.2 Cas général :
Soit (un) une suite arithmétique de raison r.
u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + · · · + un =
(2u 0 + nr)(n + 1) 2
Démonstration.
u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + · · · + un = u 0 + (u 0 + r) + (u 0 + 2r) + (u 0 + 3r) + · · · + (u 0 + nr) = u 0 (n + 1) + 1r + 2r + 3r + · · · + nr = (2u^0 +^ nr 2 )(n^ + 1)
D.1 Calcul de 1 + q + q^2 + q^3 + · · · + qn
On cherche à calculer la somme Sn = 1 + q + q^2 + q^3 + · · · + qn. L’idée, c’est de multiplier Sn par q :
q × Sn = q
1 + q + q^2 + q^3 + · · · + qn
= q + (q × q) + (q × q^2 ) + (q × q^3 ) + · · · + (q × qn) = q + q^2 + q^3 + q^4 + · · · + qn+
Écrivons Sn et qSn l’un au-dessus de l’autre, en alignant les puissances :
Sn = 1 + q + q^2 + q^3 +... + qn−^1 + qn qSn = q + q^2 + q^3 + q^4 +... + qn^ + qn+
Donc, si on fait la différence des deux lignes, on obtient : Sn − qSn = 1 − qn+1. De plus Sn − qSn = (1 − q)Sn, donc (1 − q)Sn = 1 − qn+1. D’où le résultat :
Sn =^1 −^ q
n 1 − q
D.2 Cas général :
Soit (un) une suite géométrique de raison q 6 = 1 et de premier terme u 0 :
un = u 0 × qn
On cherche à calculer la somme Sn = u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + · · · + un.
Sn = u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + · · · + un = u 0 + (u 0 q) + (u 0 q^2 ) + (u 0 q^3 ) + · · · + (u 0 qn) = u 0
1 + q + q^2 + q^3 + · · · + qn
= u 0 × 1 −^ q
n 1 − q
Sn = u 0 × 1 −^ q
n 1 − q
