Examen de mathématique, Examens de Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)
Emmanuel_89
Emmanuel_89

Examen de mathématique, Examens de Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)

2 pages
85Numéro de visites
Description
Exercices de mathématique sur un examen de mathématique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la forme bilinéaire symétrique, l’algorithme de Gram-Schmidt.
20 points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu2 pages / 2
Télécharger le document

MAT244 - Examen final

Durée: 2h00

Une feuille A4 manuscrite autorisée.

Exercice 1. On considère la forme bilinéaire symétrique

b : R3×R3 → R, (

x1x2 x3

 , y1y2 y3

) 7→ x1y1+x2y2+x3y3+x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y3+x3y2. (1) Donner la matrice représentative de b dans la base canonique.

(2) Calculer la matrice représentative de b dans la base 2−1 0

 ,  2−1 −1

 , −32

1

 . (3) R3 admet-il une base b-orthonormée (justifiez votre réponse) ? Exercice 2. Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.

Soit q : R3 → R la forme quadratique définie par

q(

xy z

) = 2x2 + 2y2 + 2z2 − 2xy − 2xz − 2yz. (1) Donner la matrice représentative B de q dans la base canonique.

(2) Calculer une base q-orthogonale qui soit orthonormée pour le pro- duit scalaire usuel sur R3. Quelle est la matrice de q dans cette nouvelle base ?

(3) Calculer le rang et la signature de q.

Exercice 3. Soit V = C0([0, 1],R), et soit

〈 , 〉 : V × V → R, (f, g) 7→ 〈f, g〉 = ∫ 1

0

f(t)g(t)

1 + t2 dt.

(1) Démontrer que 〈 , 〉 est un produit scalaire. (2) Soit W le sous-espace de V engendré par 1, t. Calculer une base de W qui soit orthonormée pour le produit scalaire précédent.

(3) Calculer a, b ∈ R tels que ∫ 1

0

(1 + t2 − (a+ bt))2

1 + t2 dt soit minimale

(justifier avec soin votre réponse).

1

docsity.com

2

Exercice 4.

(1) Appliquer l’algorithme de Gram-Schmidt à la base

e1 =

11 1

 , e2 = 11 0

 , e3 = 10 0

 pour obtenir une base orthonormée v1, v2, v3 de R3. (2) Soit W le sous-espace vectoriel de R3 engendré par e1 et e2. (a) Quelle est la projection orthogonale de 6128e1 + 1612e2 sur W?

(b) Quelle est la projection orthogonale de v3 sur W ?

Exercice 5. Soit f : R → R l’unique fonction 2π-périodique telle que

f(x) = cos( x

2 ), x ∈ [−π, π].

(1) Montrer que la série de Fourier trigonométrique de f est

2

π − 4

π

∑ n≥1

(−1)n

4n2 − 1 cos(nx).

(2) En déduire les valeurs des séries∑ n≥1

(−1)n

4n2 − 1 , ∑ n≥1

1

4n2 − 1 , ∑ n≥1

1

(4n2 − 1)2 .

docsity.com

Aucun commentaire n'a été pas fait
Télécharger le document