Examen de mi session de mathématiques financières., Examens de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
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Examen de mi session de mathématiques financières., Examens de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes sur les sciences mathématique sur l'examen final de mathématiques financières. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les questions, Le bilan de la compagnie, Les actions vendues par les actionnaires.
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Université du Québec à MontréalDŽpartement de mathŽmatiques

Examen de mi-session MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 3 HIVER 2002 Question 1 (6 points ) Le gouvernement canadien souhaite vendre à l’enchère 100 000 000 de nouvelles obligations de 10 ans à 6 %. Paul Martin demande votre opinion sur la méthode de vente qu’il devrait utiliser : vente discriminatoire ou vente à prix uniforme. Le tableau suivant montre le prix proposé par quatre compagnies selon chacune des méthodes de vente : Vente à prix uniforme Prix proposé Montant d’obligations ( par 100$) que la compagnie offre d’acquérir Compagnie A 99 60 000 000 Compagnie B 100 50 000 000 Compagnie C 101 40 000 000 Compagnie D 102 30 000 000 Vente discriminatoire Prix proposé Montant d’obligations ( par 100$) que la compagnie offre d’acquérir Compagnie A 98 50 000 000 Compagnie B 99 40 000 000 Compagnie C 100 30 000 000 Compagnie D 101 20 000 000 Indiquer le montant obtenu et le montant payé par chaque compagnie selon chaque méthode ainsi que votre recommandation ( avec justification ) à monsieur Martin pour maximiser le montant obtenu par le gouvernement canadien Réponse Vente Uniforme Prix payé Montant d’obligations ( par 100$) que la compagnie reçoit Compagnie B 100 30 000 000 Compagnie C 100 40 000 000 Compagnie D 100 30 000 000 Montant total : 100 000 000 Vente discriminatoire

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Prix payé Montant acquis Prix ( par 100$) Compagnie A 98 10 000 000 9800000 Compagnie B 99 40 000 000 39600000 Compagnie C 100 30 000 000 30000000 Compagnie D 101 20 000 000 20200000 TOTAL : 99 600 000 Conclusion : Vendre à prix uniforme Question 2 Les compagnies A et B sont rigoureusement identiques à l’exception de leur structure de financement. A est financée à 40 % en équité et 60 % en dette alors que B est financé à 80 % en équité et 20 % en dette. Le taux de rendement sans risque est 10%. Il est toujours possible d’emprunter ou de constituer une position courte au taux sans risque. Les propositions de M&M s’appliquent. Il n’y a pas d’impôt. Les résultats financiers anticipés sont les suivants, avant paiement des intérêts : En cas de récession : Profit de 500$ En cas d’expansion : Profit de 1000$ La valeur de la dette de la compagnie A est 3000$. Partie A ( 4 points ) Quelle est la valeur de l’équité de la compagnie B? Réponse : Equité de A = 2000 Valeur de A = 5000 Equité de B = 4000 Partie B( 8 points ) Déterminez une stratégie d’investissement dans l’équité de A, dans l’équité de B et dans un investissement sans risque qui offre un rendement équivalent à celui de 150% des résultats d’un investissement dans la totalité de l’équité de A et démontrez le. Réponse : Equité A Equité B Résultat en récession : 200 400 Résultat en expansion : 700 900 100% de l’équité de A + 50% de l’équité de B – 1000$ Valeur : 2000 + 2000 – 1000 = 3000 = 150% de A Résultat en récession : 200 + 0.50*400 - .10*1000 = 300 =150% de A Résultat en expansion : 700 + 0.50*900 - .10*1000 = 1050 = 150% de A Question 3 ( 10 points )

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Vrai ou Faux (selon les proportions de M et M)

a) L’augmentation de la proportion de dette dans le capital d’une entreprise entraîne une augmentation du taux de rendement requis sur la dette parce que les détenteurs d’obligations supportent une proportion plus grande du risque de l’entreprise.

VRAI b) L’augmentation de la proportion de dette dans le capital d’une entreprise entraîne une

augmentation du taux de rendement requis sur les actions principalement à cause de l’augmentation du risque de défaut.

FAUX c) Le coût du capital d’une entreprise est directement proportionnel à la proportion de

dette dans le capital global d’une entreprise. VRAI

d) La hausse du rendement attendu sur le capital action causée par la modification de la structure de capital diminue la valeur de l’action d’une entreprise.

FAUX e) Dans la situation ultime où la presque totalité du capital de l’entreprise proviendrait de

dette, le rendement attendu sur la dette et le coût du capital seraient pratiquement identique.

VRAIQuestion 4 La question 4 porte sur la compagnie Z. Vous disposez des informations suivantes :  Les propositions de M et M s’appliquent  Le rendement sans risque est 6 %  La prime de risque du marché est de 9 %  Le rendement sur les actifs de Z est 12 %.  La dette de Z est considérée sans risque tant que le ratio dette/équité est inférieur à 2.

Partie A ( 4 points ) La compagnie qui était capitalisé par 5 millions de capital action rachète pour 2 millions d’actions et émet pour 2 millions de dette. Quel sera le rendement attendu sur le capital action après cette opération? Ra = Rd *D/V + Re * E/V = .12 = .06 *2/5 + Re * 3/5 donc Re = .16 Partie B ( 4 points ) La compagnie décide de racheter 1 million additionnel de capital action et d’émettre 1 million de dette additionnelle. Le  de la dette devient alors 0.5. Quel sera alors le rendement attendu sur le capital action après cette opération? Rd = .06 + .5*.09 = .105 donc .12 = .105 *3/5 + Re * 2/5 donc Re = .1425 Question 5 ( 10 points)

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Dans un marché efficient, selon la forme forte, lesquelles des affirmations suivantes sont vraies.

A) Le titre d’une compagnie ne peut pas sur-performer le marché chaque trimestre dans une année. FAUX

B) Je peux obtenir un rendement supérieur au rendement du marché sans prendre de risques. FAUX

C) Lorsqu’une compagnie annonce des bénéfices supérieurs aux bénéfices anticipés, le prix du titre s’ajuste immédiatement à la hausse. VRAI

D) Un initié dans le titre d’une compagnie peut en général transiger profitablement le titre de la compagnie. FAUX

E) Un analyste technique ne peut pas découvrir une règle de transaction basée sur les prix passés qui lui assure un profit élevé régulier. VRAI

Question 6 (6 points) Vous êtes l’actionnaire principal de la compagnie de téléphone cellulaire Parle Parle Jase Jase (PPJJ) inc. Vous avez investi 5 millions de capital dans PPJJ. La compagnie a émis pour 5 millions d’obligations à 7 %. Le bénéfice d’opération, soit le profit avant intérêts et impôts sur le revenu, s’élève à 1 000 000$ pour l’année 2001. L’impôt sur le revenu est de 40 % pour PPJJ. Vous souhaitez racheter vos obligations et émettre des actions privilégiées à la place. Quel aurait été le taux maximal qui aurait pu être crédité en 2001 sur les actions privilégiées pour maintenir au même niveau le revenu disponible aux détenteurs d’actions ordinaires? Faites l’hypothèse que vous pouvez racheter les obligations au pair sans pénalité et que vous pouvez émettre les actions privilégiées sans frais. Avec Oblib Avec Priv. Bénéfice d’opération 1 000 000 1 000 000 Moins Intérêts - 350 000 0 Bénéfice avant impôt 650 000 1 000 000 Impôt 260 000 400 000 Dividendes privilégiées 0 210 000 Revenu disponible aux actions ordinaires 390 000 390 000 Donc taux de 4.2% Question 7 Le conseil d’administration de la compagnie Parle + Fort comporte 9 administrateurs. 1 million d’actions ordinaires sont en circulation. Vous détenez 200 000 d’actions et l’actionnaire principal en détient 600 000. Les autres actions sont entre les mains du grand public qui votera comme l’actionnaire principal. Les administrateurs sont élus selon le principe de vote cumulatif. En cas d’égalité, un tirage au sort détermine le candidat élu.

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Partie A ( 3 points) Démontrer si vous détenez suffisamment d’actions pour être certain de faire élire 1 administrateur. 800 000 * 9 / 9 < 200 000 * 9 donc certain Partie B ( 3 points) Démontrer si vous détenez suffisamment d’actions pour être certains de faire élire 2 administrateurs. 800 000 * 9 / 8 = 900 000 = 200 000 * 9 / 2 donc incertain Question 8 Nous sommes le 1er février 2002. Une compagnie souhaite obtenir 20 millions de nouveau capital en offrant à ses actionnaires des droits d’achat de nouvelles actions. Les actionnaires peuvent alors acheter 1 nouvelle action au prix de 40$ pour chaque 10 actions qu’ils détiennent. Le prix de l’action le 1er février avant l’émission des droits est de 45$. L’exercice des droits doit se faire le 1er mars 2002. Partie A (2 points) Quelle est la valeur marchande de l’équité de la compagnie avant l’émission des droits? 20 000 000 / 40 = 500 000 500 000 * 10 = 5 000 000 et 5 000 000 * 45 = 225 000 000 Partie B (4 points) En supposant que le marché est efficient, à quel prix les droits devraient-ils se transiger immédiatement après l’octroi des droits et quel sera le nouveau prix de l’action ? Droit : (45 – 40) / 11 = .45 et action = 45 - .454545 = 44.55 Partie C ( 2 points) Le 15 février, le prix de l’action se situe à 35$. Quel est alors le prix approximatif d’un droit ? Environ 0 Partie D ( 2 points) Le 1er mars, un droit vaut 2$ juste avant l’expiration. Quel est alors le prix de l’action? 40 + 2 * 10 = 60

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Note : À chaque action se rattache un droit. 10 droits sont donc nécessaires pour acheter une nouvelle action. Question 9 Vous êtes au temps 0 juste avant le paiement du dividende. Voici des données relativement à la compagnie Cause Toujours spécialisée dans la téléphonie par satellite. Prix de l’action : 56$ Dividende payé au temps 0 : 2$ Croissance projetée du dividende : 8 % à perpétuité Taux de distribution des profits : 40 % Nombre d’actions en circulation : 10 000 000 Partie A ( 6 points) Déterminer les quantités suivantes :

Taux de rendement requis sur le titre de Cause Toujours?2.00*1.08/(r-.08)=54 donc r = 12%

 BPA de l’an 1 2.16/.40 = 5.40  Rendement sur l’équité de Cause Toujours ROE*(1-TD)=g donc ROE=.13333  Valeur au livre de l’action de Cause Toujours .13333=(BPA/VL) donc VL=40.50Le prix de l’action juste avant le paiement du dividende au temps 1

=(56-2)*1.12=60.48 Partie B ( 4 points ) Juste avant la déclaration du dividende au temps 1, Cause Toujours décide de distribuer la totalité de son bénéfice en dividende et d’émettre de nouvelles actions pour remplacer le montant de capital distribué en sus du dividende prévu. Les actions sont émises immédiatement après le paiement du dividende. Combien de nouvelles actions seront émises? À quel prix ? (Le prix auquel ni les actionnaires actuels, ni les nouveaux actionnaires ne seront avantagés). Rép : 60.48-5.40=55.08; À remplacer : 10 000 000*(5.40*.6)=32 400 000 Nombre = 32 400 000/55.08 = 588235 Partie C ( 4 points )

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Au temps 2, la compagnie reprendra sa politique de distribution de 40 % des profits en dividendes. Quel sera alors le dividende par action ? Montrer que la distribution de la totalité du BPA au temps 1 et l’émission de nouvelles actions comme source de capital n’a pas d’effet sur le prix de l’action. Bénéfice : An 1 = 54 000 000 An 2 = 54 000 000 * 1.08 = 58 320 000 Montant de dividende = 58 320 000 * .40 = 23 328 000 Par action = 23 328 000 / 10 588 235 = 2.2032 Prix = 5.40/1.12 + 2.2032/1.12^2 + ( 2.2032*1.08/.04)/1.12^2 = 54.00

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Question 10 Paul et Pierre ont investi 200 000$ pour créer une nouvelle compagnie : PARCI. Après 2 ans de recherche, ils ont dépensé toutes leurs économies. La compagnie de capital de risque Nouveau Capital s’intéresse à leur invention et consent à investir 3 000 000$ dans PARCI . Le bilan de la compagnie se présente alors comme suit : Tableau A

Actif Capital Encaisse 3 000 000 Avoir des actionnaires 5 000 000 Actifs intangibles 2 000 000 5 000 000 2 millions d’actions sont alors émises Une deuxième phase de financement est requise deux ans plus tard car la totalité des fonds jusqu’alors disponibles ont été dépensés en recherche et développement. 4 millions $ de nouveau capital sera souscrit. Nouveau Capital contribuera une partie de cette somme de même que Néo Cap ( une autre société de capital de risque) et Bill Gates un investisseur fortuné. Après cette émission, Paul et Pierre contrôlent ensemble 20% du capital action de l’entreprise. Préliminaire pour la réponse : Prix de la première phase : 2.50$ Paul et Pierre détiennent 2/5 de 2 millions soit 800 000 actions Partie A À quel prix les nouvelles actions ont-elles été émises ? ( 4 points ) 800 000 /.20 = 4 000 000 Donc il y 2 000 000 de nouvelles actions et le prix est 4 000 000$/ 2000 000 = 2$ Partie B Établissez un bilan de la compagnie selon le modèle du tableau A, immédiatement après la souscription de capital.( 4 points ) Tableau AA

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Actif Capital Encaisse 4 000 000 Avoir des actionnaires 8 000 000 Actifs intangibles 4 000 000 8 000 000 La Société effectue une première émission publique d’actions 3 ans plus tard selon les conditions suivantes :  Prix d’émission $ 4  Nombre d’actions émises : 5 000 000 dont 1 000 000 vendues par les actionnaires

existants  Les actionnaires existants reçoivent $ 3.50 pour chaque action qu’ils vendent avant

déduction des frais d’émission supportés en proportion des actions vendues  Les frais d’émissions supportés par PARCI et par ses actionnaires existants qui se

départissent de leurs actions s’élèvent à 1 000 000$. Les actions vendues par les actionnaires existants se répartissent comme suit : Bill Gates vend la totalité des 200 000 actions qu’il détient. Neo Cap vend 500 000 actions, soit la moitié de sa participation. Nouveau Capital vend 300 000 actions. Partie C Quelle proportion du capital action de PARCI est encore contrôlée par Pierre et Paul après l’émission publique? ( 4 points ) Total de 8 000 000 d’actions, donc Paul et Pierre en contrôlent encore 10% puisqu’ils n’ont rien vendu. Partie D Quel sera le montant de capital effectivement disponible pour PARCI suite à cette première émission publique ? ( 2 points ) 4 000 000 * 3.50 = 14 000 000 – 1 000 000 * .8 = 13 200 000 Partie E Si le prix de l’action clôture à 5$ la journée de son émission, calculer les frais d’émission totaux des nouvelles actions de PARCI. ( 2 points ) 1 000 000$ + .50 * 5 000 000 + 5 000 000 = 8 500 000 Partie F Quel est le profit de Bill Gates sur son investissement, en ignorant l’impôt. ( 2 points )Profit = 200 000* ( 1.50 – 0.20 ) = 260 000

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