Examen final de mathématiques financières, Examens de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez7 février 2014

Examen final de mathématiques financières, Examens de Mathématiques

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Notes sur les sciences mathématique sur l'examen final de mathématique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les questions, les tableaux, la question ‘Butterfly’.
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Université du Québec à Montréal

Département de mathématiques

Examen final

MATHEMATIQUES FINANCIERES 3 HIVER 2002 Question 1 ( 9 points ) Partie A) Le prix d’une option européenne est influencé par 6 facteurs. Identifiez les 6

facteurs. Partie B) Pour chacun des facteurs identifiés en A, indiquer si l’effet direct d’une

augmentation du facteur est de causer une augmentation ou une diminution de la valeur d’une position longue dans une option de vente.

Partie C) Pour chacun des facteurs identifiés en A, indiquer si l’effet direct d’une

augmentation du facteur est de causer une augmentation ou une diminution de la valeur d’une position courte dans une option d’achat.

Question 2 ( 12 points ) Le titre d’une compagnie se transige actuellement à 50$. Au cours de chaque période de 3 mois, on estime que le titre peut augmenter de 6% ou diminuer de 5%. Le taux d’intérêt sans risque est égal à 5% par année composé continuellement. Partie A (4 points ) Estimer la valeur d’une option d’achat européenne de 6 mois avec prix d’exercice de 51$ au moyen de la méthode binomiale. Partie B ( 4 points ) Quelle est la valeur d’une option de vente européenne de 6 mois avec prix d’exercice de 51$. Partie C ( 4 points ) Quelle est la valeur d’une option de vente américaine de 6 mois avec prix d’exercice de 51$.

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Question 3 ( 17 points ) Le titre d’une compagnie se transige actuellement à 50$. Le titre peut monter de 25% ou baisser de 20% au cours de chaque période de 3 mois. Le taux d’intérêt sans risque composé continuellement est de 6% par année. Le titre ne verse pas de dividende. Partie A) ( 2 points ) Quelle est la volatilité annuelle implicite de ce titre? Partie B) ( 4 points ) Quel est le portefeuille de réplication d’une option d’achat de 3

mois dont le prix d’exercice est 60$ ( le portefeuille de réplication est composé d’une position dans le titre et d’une position dans un placement sans risque )

Partie C) ( 3 points ) Déterminer la valeur de l’option d’achat de 3 mois décrite au

paragraphe précédent au moyen du portefeuille de réplication. Partie D) ( 4 points ) Vous aimeriez vendre une option de vente de 3 mois sur ce titre

mais les options de vente ne sont pas transigées. Comment pourriez-vous reproduire synthétiquement une option de vente sur ce titre dont le prix d’exercice serait 60$ et quel serait la prime que vous recevriez alors?

Partie E) ( 4 points ) Quelle est la valeur d’une option européenne d’achat de 1 an avec

prix d’exercice de 80$? Vous pouvez utiliser la méthode de Black Scholes pour effectuer le calcul.

Question 4 ( 10 points ) Partie A (8 points ) Le président et le trésorier d’une entreprise discutent les facteurs qui influencent la structure de capital optimale pour leur entreprise. Ils considèrent la valeur du bouclier fiscal provenant de la déductibilité des intérêts sur la dette de leur compagnie et leur aversion au stress financier ainsi que la structure de capital des compétiteurs. Diverses théories ont été formulées pour expliquer la structure de capital des entreprises. Parmi celles-ci on retrouve la théorie du Trade-off et la théorie de l’ordre de préférence ( pecking order ). Décrivez brièvement ces 2 théories et leur conception de la structure de capital. Partie B (2 points ) Selon la théorie de l’ordre de préférence, que fais une compagnie avec les fonds disponibles aux actionnaires dans les circonstances suivantes :  La compagnie produit des profits et des fonds autogénérés très substantiels;  La compagnie n’a pas actuellement de projets à NPV positives;  Le dividende vient d’être augmenté conformément à la politique de croissance à

long terme de la compagnie.

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Question 5 ( 15 points ) Nous sommes le 1er avril 2002. Le tableau suivant montre le bilan à valeur aux livres de la compagnie ABCinc. Bilan à valeur aux livres Actifs : 313 500 Dette 104 500

Équité 209 000 ______ ______ 313 500 313 500 ABC compte 100 000 actions en circulation. Leur prix actuel est de 3.00$. La dette de ABC est constituée d’obligations dont la valeur nominale est de 104 500$ et dont la date de maturité est le 31 mars 2003. Les obligations versent un coupon annuel de 5% et le prochain coupon sera versé le 31 mars 2003. Le marché exige actuellement un rendement de 9.725% sur les obligations de ABC. Selon la structure actuelle de capital, le WACC est de 14.00%. Le taux d’impôt corporatif se situe à 35%. ABCinc souhaite modifier sa structure de capital de manière à porter son ratio à valeur marchande ‘dette/valeur de compagnie’ égal à 0.5. Quel sera le nouveau WACC de ABCinc si le coût de la dette augmente alors à 11.5%. Question 6 ( 12 points ) La compagnie Les parapluies de Sherbrooke inc. a vendu pour 500 millions l’an dernier. Ses actifs s’élèvent à 400 millions et sont constitués d’une usine ultra moderne de fabrication de parapluies, d’ombrelles et de parasols. La compagnie a produit un revenu net de 60 millions et versé des dividendes de 35 millions. L’avoir des actionnaires de la firme se situe à 100 millions. Partie A) ( 8 points) Calculer le taux de croissance interne de la firme et le taux de croissance soutenable. Partie B) (4 points) Expliquer la différence entre le taux de croissance interne et le taux de croissance soutenable. Quel type de financement externe la compagnie doit-elle obtenir pour maintenir une structure de capital constante?

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Question 7 ( 12 points ) Talisman Energy et Petro Canada sont deux grandes compagnies pétrolières canadiennes. Talisman est essentiellement un producteur de pétrole alors que Petro Canada est une société intégrée qui produit du pétrole, raffine et distribue des produits pétroliers aux consommateurs. Le tableau suivant montre quelques données ( en millions de $ ) extraites du rapport annuel le plus récent de chaque compagnie. Talisman Energy Petro Canada Année 2001 2000 2001 2000 Extraits du Bilan Avoir des actionnaires 4229 3665 5061 4591 Actifs totaux 10906 8676 9821 10130 Extraits des Résultats Ventes 4140 8690 Revenus avant impôts 1349 1385 Intérêts 139 135 Impôts 563 481 Partie A ( 4 points ) Calculer pour l’année 2001 le rendement sur les actifs moyens de chaque société ainsi que le rendement sur l’avoir moyen des actionnaires. Partie B ( 8 points ) Calculer les 4 facteurs de la formule de décomposition du rendement de Dupont pour chaque société et comparer l’efficacité de chacune. Quelles sont les ressemblances et les différences entre les deux compagnies? Pouvez-vous imaginer une explication possible pour les facteurs qui diffèrent substantiellement?

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Question 8 ( 13 points ) Le tableau suivant présente des données sur des options de vente sur l’action ordinaire de la compagnie ABC. Date de maturité Type d’option Prix d’exercice Prix de l’option 1er juillet 2002 Européenne 40$ 5.00$ 1er juillet 2002 Européenne 45$ 2.50$ 1er juillet 2002 Européenne 50$ 1.00$ Vous vendez 1 option de vente dont le prix d’exercice est 40$ et une option de vente dont le prix d’exercice est 50$. Vous achetez 2 options de vente dont le prix d’exercice est 45$. Partie A ( 6 points ) Dessiner le graphique de la valeur de votre position à la date de maturité sans tenir compte du prix des options. Partie B ( 2 points ) Étant donné la prime payée, pour quelles valeurs du titre à la date de maturité allez vous obtenir un profit de la transaction? Partie C ( 2 points ) Aurait-il été possible que le prix des options soit donné par le tableau suivant et pourquoi? Date de maturité Type d’option Prix d’exercice Prix de l’option 1er juillet 2002 Européenne 40$ 4.00$ 1er juillet 2002 Européenne 45$ 3.00$ 1er juillet 2002 Européenne 50$ 1.00$ Partie D ( 3 points ) La position décrite dans cette question est appelée un ‘Butterfly’. Vous auriez pu également prendre une position de type ‘Butterfly’ avec des options d’achat de la manière suivante : vendre une option d’achat avec prix d’exercice de 40$, acheter deux options d’achat avec prix d’exercice de 45$ et vendre une option d’achat avec prix d’exercice de 50$. Le prix d’un tel ‘Butterfly’ créé au moyen d’options d’achat est-il plus élevé, égal ou plus faible que le prix du ‘Butterfly’ créé au moyen des options de vente. Effectuez la démonstration au moyen de la relation de parité entre option d’achat et option de vente.

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