Examen - géométrie 2, Examens de Géométrie analytique et calcul. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Examen de géométrie 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la loi de composition, le plan orienté, l’équation différentielle.
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[ Baccalauréat C Limoges juin 1971 \

EXERCICE 1

Dans l’ensemble N des entiers naturels, on considère la loi de composition, notée ⋆, telle que

∀(a ; b) ∈N2, a b = a +b +a.b.

Les signes + et × désignent respectivement l’addition et la multiplication usuelles dansN.

1. Montrer que c’est une loi interne dansN, commutative et associative. Admet- elle un élément neutre ?

2. On définit a(n) pour n > 1 par

a(1) = a et a(n) = a (n−1)⋆a.

Exprimer a(), a() et a(), en fonction de a, et en déduire l’expression générale de a(n) en fonction de a et de n.

EXERCICE 2

Ondonne dans un plan orienté trois droites (D1) , (D2) et (D3) passant par O et telles que

(D1, D2)= π

2 +et (D2, D3)=

π

3 +

Soit S(D1), S(D2) et S(D3) les symétries par rapport aux droites (D1) , (D2) et (D3) [ou symétries axiales d’axes respectifs (D1) (D2) et (D3)].

1. Construire le transformé d’un point M duplan par la transformation T définie par

T =S(D3) ◦S(D2) ◦S(D1)

Quelle est la nature de cette transformation T ?

2. On considère alors la transformation T ′ définie par T ′ =S(D1) ◦T .

Quelle est la nature de cette transformation T ′ ? Ce produit est-il commutatif ?

PROBLÈME

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy . Log x désigne le logarithme népérien de x. Sa base est e.

1. On considère l’équation différentielle

x y ′Log x + y x = 0,

y est la fonction inconnue de la variable x et y ′ sa dérivée par rapport à x.

Trouver toutes les solutions de la forme y = P (X )

Log x , où P désigne une fonction

de x, que l’on déterminera. Préciser, parmi ces solutions, celle dont la courbe représentative passe par le point, S, de coordonnées (e ; e).

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

2. Étudier la fonction qui à x fait correspondre

y = x

Log x .

On tracera la courbe représentative (Γ) par rapport aux axes x′Ox et y ′Oy . On étudiera, en particulier, les branches infinies, les points remarquables et les tangentes en ces points.

3. On considère un point M0 de (Γ) d’abscisse x0. Déterminer les points M de (Γ) où les tangentes à (Γ) sont perpendiculaires à la tangente à (Γ) en M

Discuter l’existence et le nombre de ces points M suivant les valeurs de x0. (Il pourra être intéressant, afin d’alléger les écritures, de poser u = Log x et u0 = Log x0.) Lorsque x0 est choisi dans un domaine précisé lors de la discussion précé- dente, il existe deux points M répondant à la question. Ils seront notés M1 et M2 d’abscisses respectives x1 et x2. Montrer que

Log x1+Log x2 = LogLog x1.Log x2.

En déduire que

tg (

−−→ Ox ,

−−−→ OM1

)

+ tg (

−−→ Ox ,

−−−→ OM2

)

= 1.

4. Les tangentes en M1 et M2 à (Γ) coupent l’axe x′Ox respectivement en P1 et P2 d’abscisses x′1 et x

2. Montrer que x′1.x

2 = x1.x2. On appelle m2 la projection orthogonale sur x′Ox de M2. Démontrer que l’axe radical du cercle de diamètre M1m2 et du cercle circonscrit à M2P1P2 passe par un point fixe lorsque M0 varie sur (Γ) dans les conditions précisées à la question 3. 10 Construire le transformé d’un pointM duplan par la transformation T défi- nie par T = 9’<na) 0 9’(Do) 0 9’<n,)’ Quelle est la nature de cette transformation T ? 20On considère alors ia transformation T’ définie par T’ = 9’<n,) 0 T. Quelle est la nature de cette transformation T’ ? Ce produit est-il commutatif ? III. - Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’axes x’Ox, y’Oy. Log x désigne le logarithme népérien de x. Sa base est e. 10 On considère l’équation différen- tielle xy’ Log x + y - x = 0, où y est la fonction inconnue de la variable x et yi sa dérivée par rapport à x. Trouver toutes les solutions de la forme y = LP(X) , où P désigne une fonction ogx de x, que l’on déterminera. Préciser, parmi ces solu- tions, celle dont la courbe représentative passe par le point, S, de coordonnées (e, e). . 20 Étudier la fonction qui à x fait correspondre x y = Logx’ On tracera la courbe représentative (r) par rapport aux axes x’Ox et y’Oy. On étudiera, en particulier, les branches infinies, les points remarquables et les tangentes en ces points. 30 On considère un point Mo de (r) d’abscisse Xo’ Déterminer les points M de (r) où les tangentes à (r) sont perpendiculaires à la tangente à (r) enMo· Discuter l’existence et le nombre de ces points M suivant les valeurs de Xo’ (Il pourra être intéressant, afin d’alléger les écritures, de poser u = Log x et Uo = Log xo·) Lorsque Xo est choisi dans un domaine précisé lors de la discus- sion précédente, il existe deux points M LIMOGES 27 répondant à la question. Ils seront notés Ml et M2 d’abscisses respectives Xl et x2 ? Montrer que Log Xl + Log X2 = Log Xl’ Log x2 ? En déduire que 40 Les tangentes en Ml et M2 à (r) coupent l’axe x’Ox respectivement en Pl et P2 d’abscisses x et x . Montrer que x . x = Xl’ x2 ? On apJlelle m2 la projection orthogonale sur x’Ox de M2? Démontrer que l’axe radical du cercle de dia- mètreM1m2 et du cercle circonscrit àM2P1P2 passe pur un point fixe lorsque Mo varie sur (r) dans les conditions précisées à la question 3°.

Limoges 2 juin 1971

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