Examen - sciences mathématique 17 - 3° partie, Examens de Génie mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)
Emmanuel_89
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Examen de sciences mathématique 17 - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Une somme déterminante, Les moyennes, Géométrie de l’à peu près.
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18-b : Exercice 2 (autres séries que S)

On superpose n dés (n entier naturel non nul) identiques dont un patron est donné ci-dessous et on calcule la somme des points marqués sur toutes les faces visibles de la pile.

On remarque qu’en posant le dernier dé de la pile,

- si la face supérieure est 1, la somme est un nombre premier,

- si la face supérieure est 2, la somme est un multiple de 2,

- si la face supérieure est 3, la somme est un multiple de 3,

- si la face supérieure est 4, la somme est un multiple de 4,

- si la face supérieure est 5, la somme est un multiple de 5,

- si la face supérieure est 6, la somme est un multiple de 6.

Quelle est la plus petite valeur de n possible ? (on pourra se servir de la liste suivante :

nombres premiers compris entre 1 et 1000

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97 ;

101 ; 103 ; 107 ; 109 ; 113 ; 127 ; 131 ; 137 ; 139 ; 149 ; 151 ; 157 ; 163 ; 167 ; 173 ; 179 ; 181 ; 191 ; 193 ; 197 ; 199 ;

211 ; 223 ; 227 ; 229 ; 233 ; 239 ; 241 ; 251 ; 257 ; 263 ; 269 ; 271 ; 277 ; 281 ; 283 ; 293 ;

307 ; 311 ; 313 ; 317 ; 331 ; 337 ; 347 ; 349 ; 353 ; 359 ; 367 ; 373 ; 379 ; 383 ; 389 ; 397 ;

401 ; 409 ; 419 ; 421 ; 431 ; 433 ; 439 ; 443 ; 449 ; 457 ; 461 ; 463 ; 467 ; 479 ; 487 ; 491 ; 499 ;

503 ; 509 ; 521 ; 523 ; 541 ; 547 ; 557 ; 563 ; 569 ; 571 ; 577 ; 587 ; 593 ; 599 ;

601 ; 607 ; 613 ; 617 ; 619 ; 631 ; 641 ; 643 ; 647 ; 653 ; 659 ; 661 ; 673 ; 677 ; 683 ; 691 ;

701 ; 709 ; 719 ; 727 ; 733 ; 739 ; 743 ; 751 ; 757 ; 761 ; 769 ; 773 ; 787 ; 797 ;

809 ; 811 ; 821 ; 823 ; 827 ; 829 ; 839 ; 853 ; 857 ; 859 ; 863 ; 877 ; 881 ; 883 ; 887 ;

907 ; 911 ; 919 ; 929 ; 937 ; 941 ; 947 ; 953 ; 967 ; 971 ; 977 ; 983 ; 991 ; 997 ;

18-c : Exercice 3 (série S)

Le but de l’exercice est de démontrer que si m est un entier naturel non nul, il existe un entier M multiple de m, tel que l’écriture de l’entier M comporte de gauche à droite une succession de 9 suivie ou non d’une succession de 0.

Le nombre M sera par exemple égal à 9 ou à 99 ou à 90 ou à 999000,…

1. Vérifier cette propriété pour les entiers compris entre 1 et 6.

2. Déterminer un entier correspondant à la question dans le cas où 7m  (indication : on pourra

chercher l’écriture décimale du nombre 610 1

7

 ).

3. Déterminer un entier M répondant à la question dans le cas 84m  .

4. Démontrer la propriété dans le cas d’un entier naturel non nul quelconque m.

18-d : Exercice 4 (série S)

1. Soit A, B, C et D quatre points du plan tels que les droites (AB) et (CD) soient strictement parallèles et tels que AB CD . Montrer que l’on peut construire le milieu O du segment [AB] uniquement avec une règle non graduée. Faire la construction demandée sur la figure proposée en annexe 1 qui sera rendue avec la copie.

2. Soit A et B deux points distincts du plan, O le milieu du segment [AB] et E un point quelconque du plan. Montrer que l’on peut construire une parallèle à la droite (AB) passant par E uniquement avec une règle non graduée. Faire la construction demandée sur la figure proposée en annexe 2 qui sera rendue avec la copie.

3. Soit O un point du plan et r un réel strictement positif ;  le cercle de centre O et de rayon r ; [AB] un diamètre du cercle  . Montrer que l’on peut construire le symétrique B1 de B par rapport à A uniquement avec une règle non graduée. Faire la construction demandée sur la figure proposée en annexe 3 qui sera rendue avec la copie.

Annexe 1 (à rendre avec la copie)

DC

BA

Annexe 2 (à rendre avec la copie)

E

O BA

Annexe 3 (à rendre avec la copie)

O BA

http://mathematiques.scola.ac-paris.fr/actualites.htm

19. Poitiers

19-a : Une somme déterminante ?

Les numéros des quatre départements de la région Poitou-Charentes sont liés ensemble par une relation

qui peut sembler étonnante. Observez plutôt : 16 + 17 + 79 + 86 = 86177916.

La relation : a + b + c + d = db ca avec a < b < c < d (1) entre les numéros de quatre départements est- elle exceptionnelle ?

Pour les besoins de l’exercice vous conviendrez de la numérotation fantaisiste suivante : 20 (Corse du Sud) ; 96 (Haute Corse) ; 97 (Guadeloupe) ; 98 (Martinique) ; 99 (Guyane) ; 100 (Réunion). Ainsi vous disposerez des 100 départements français numérotés de 1 à 100.

a. Donner quatre autres numéros de département vérifiant la relation (1) et produisant de plus exactement le même résultat que la région Poitou-Charentes à savoir 198.

b. La relation (1) peut-elle produire un résultat impair ?

c. Au total, combien peut-on former de groupes de quatre départements vérifiant la relation (1) ?

19-b : Patrons et volumes

On a découpé les parties restées en blanc d'une feuille de carton ABCD, carrée de 12 cm de côté comme indiqué sur la figure à gauche ci-dessous. On a ainsi fabriqué le patron d'un cube. Après pliage selon les pointillés et collage avec du ruban adhésif, quel est le volume du cube obtenu ?

Pour qu'il n'y ait aucune chute de carton, on propose de recoller à l'aide de ruban adhésif les morceaux, pour construire le patron de même forme que le précédent, mais de dimensions plus grandes comme indiqué sur la figure de droite ci-dessus. Les morceaux trapézoïdaux GLWE et ILWF sont déplacés et recollés en DGTU et DMZV, les morceaux triangulaires HWE et HWF sont déplacés et recollés en DUK et DVK. On opère de même avec les 3 autres chutes de cartons, afin d'obtenir ainsi le cube le plus volumineux possible. Quel est le volume maximum ainsi obtenu ?

Corrections : http://ww2.ac-poitiers.fr/math/spip.php?article58

20. Rennes (*)

http://www.ac-rennes.fr/pedagogie/maths/gfnewsjeux.htm

21. Strasbourg

21-a : Le dictionnaire

Toutes sections sauf S

On a utilisé 6921 caractères d’imprimerie (chiffres) pour numéroter les pages d’un dictionnaire. Combien de pages ce dictionnaire contient-il ? (chaque page est numérotée une seule fois, la première portant le numéro 1)

21-b : Le digicode

Toutes sections sauf S

La porte d’entrée d’un immeuble s’ouvre à l’aide d’un digicode.

Celui-ci comporte trois lettres A, B, C et neuf chiffres (de 1 à 9). Le code d’accès à cet immeuble est formé de trois lettres suivies de trois chiffres.

1. Combien de codes différents peut-on composer ?

2. Combien y-a-t-il de codes différents commençant par AB ?

3. Combien y-a-t-il de codes différents finissant par trois chiffres identiques ?

4. Combien y-a-t-il de codes différents contenant le chiffre 1 ?

21-c : Le dictionnaire

Classe de premiere S

1. On a utilisé 6921 caractères d’imprimerie (chiffres) pour numéroter les pages d’un dictionnaire.

Combien de pages ce dictionnaire contient-il ? (chaque page est numérotée une seule fois, la première portant le numéro 1.)

2. On dispose d’un dictionnaire de N pages. On numérote les pages comme à la question précédente. Expliquer comment déterminer le nombre de caractères utilisés pour effectuer cette numérotation.

21-d : Les moyennes

Classe de premiere S

On dispose d’un ensemble de nombres réels vérifiant la propriété suivante : s’il contient certains nombres, il contient aussi leur moyenne.

On sait que cet ensemble contient effectivement 0 et 1.

1. Montrer qu’il contient 1

4 ,

3

4 et

7

12 .

2. Montrer qu’il contient tous les réels de la forme 1

4n et

3

4n avec n entier naturel non nul.

3. Montrer qu’il contient 1

5 .

4. Est-ce qu’il contient tous les réels de la forme 1

n avec n entier naturel non nul ?

Corrigés :

http://irem.u-strasbg.fr/php/index.php?frame=.%2Fcompet%2Fsujets.php%3Fcateg%3Dolymp&m0=comp&m1=oly&m2=suj

22. Toulouse

22-a : Mon chat

candidats toutes séries

Mon chat déteste la pluie. Lorsqu’il pleut, il cherche un abri et se met le plus loin possible du bord de l’abri.

1. Ainsi, sous la table du jardin, qui est un carré de 1m de côté, il se blottit sous le centre de la table et n’en bouge plus. À quelle distance est-il du bord de la table ?

2. Lorsqu’il est à l’abri sous une table rectangulaire de côté 0,9 m sur 1,80 m, le chat se déplace sur un segment de droite.

a. Quelle est la longueur de ce segment ?

b. De manière plus générale quelle relation peut-on établir entre la longueur L, la largeur l(de la table rectangulaire) et la longueur du segment sur lequel se déplace le chat ?

c. Proposer un autre abri lui permettant de se déplacer sur un segment de longueur 0,9 m et dont l’aire est inférieure à celle de l’abri proposé au a.

3. Mon chat peut-il rêver d’un abri qui lui permettrait de se promener sur le long de deux segments perpendiculaires et de même longueur ? Si oui, dessiner un tel abri et justifier le songe du chat, sinon montrer pourquoi ce n’était qu’un rêve infidèle de félidé.

22-b : La balance

candidats des séries autres que la série S

Une balance est constituée de plateaux contenant chacun un seul poids ; éventuellement elle comporte un plateau sur l’axe.

On dispose de poids numérotés. La masse de chaque poids est égale à son numéro. (Le poids n°1 pèse 1 g, le poids n°2 pèse 2 g...).

Le poids placé sur l’axe de la balance, s’il y en a un, n’a pas d’influence sur l’équilibre. À chaque fois, si l’on a besoin de k poids, on utilise les poids numérotés de 1à k.

1. a. On veut réaliser un équilibre sur la balance ci-dessous en utilisant tous les poids de 1 à 5.

Proposer une répartition. Expliquer pourquoi il n’est pas possible de réaliser un équilibre en plaçant le poids 2 sur l’axe.

b. On veut réaliser un équilibre sur la balance ci-dessous en utilisant tous les poids de 1 à 6. Pouvez-vous

proposer une répartition ?

2. On veut réaliser un équilibre en utilisant tous les poids de 1 à 9. On place donc un poids sur l’axe et 4 poids de chaque côté.

a. Proposer une répartition en plaçant le poids n° 5 sur l’axe.

b. Proposer une répartition en plaçant le poids n° 1 sur l’axe. Est-ce possible avec le n° 9 ?

3. Peut-on réaliser un équilibre avec les poids de 1 à 14 sur la balance ci-dessous ?

22-c : Le mauvais sujet

candidats des séries S

1. Dans une classe de lycée (dont l’effectif est réglementairement limité à 35 élèves), tous les élèves passent un test auquel il faut obtenir au moins 65 pour le réussir. La moyenne générale est de 66, la moyenne des reçus de 71 et la moyenne des recalés de 56.

Quelle est la proportion de reçus par rapport à l’effectif de la classe ?

2. À la suite d’une erreur mineure dans le sujet, le jury décide d’ajouter 5 points à tous les élèves. La moyenne des reçus passe alors à 80 et celle des recalés à 47. Toutes ces moyennes sont exactes (autrement dit ce sont des nombres entiers).

Trouver le nombre d’élèves reçus en plus et le nombre d’élèves de la classe.

23. Versailles

23-a : Géométrie de l’à peu près

concours S et STI

Le plan est muni d’une distance.

On donne les définitions suivantes :

Définition 1 : Deux points sont presque égaux si leur distance est inférieure à 0,1 (un dixième d’unité) ;

Définition 2 : Deux segments ont presque la même longueur si leurs longueurs diffèrent de moins de 0,1 ;

Définition 3 : Un triangle est presque équilatéral si ses côtés ont presque la même longueur deux à deux.

1. Un triangle rectangle ABC dont l’hypoténuse [BC] a pour longueur 1 peut-il être presque équilatéral ?

2. Un triangle rectangle peut-il être presque équilatéral ?

3. On considère un segment [BC] de longueur 2, on note I le milieu de [BC]. À tout point A du plan tel que AB = 2, on associe son projeté orthogonal H sur la droite (BC).

a. Quel est l’ensemble des points A tels que I et H soient presque égaux ?

b. Si I est presque égal à H, le triangle ABC est-il presque équilatéral ?

23-b : Comment débutent les puissances de 2 ?

concours S et STI

Étant donné un entier naturel n , on considère l’ensemble des puissances de 2 comprises, au sens large, entre 1 et 2n.

On note nle nombre de ces puissances dont l’écriture décimale débute par 1, par 2 ou par 3.

On note nle nombre de ces puissances dont l’écriture décimale débute par 4, par 5, par 6 ou par 7.

On note nle nombre de ces puissances dont l’écriture décimale débute par 8 ou par 9.

1. Déterminer 15 et 15 .

2. Que peut-on conjecturer de la limite éventuelle de n

n

 ?

3. Démontrer ce résultat (on pourra montrer que, pour tout entier n, 2 2n n n     ).

23-c : Rallye numérique

concours STG, ES et L

On choisit un nombre, puis on a le choix entre :

- lui ajouter 3 ;

- le multiplier par 5.

On recommence avec le nombre obtenu, et ainsi de suite.

1. Partant du nombre 1, est-il possible d’obtenir 2007 au bout d’un certain nombre d’étapes ?

2. Trouver l’ensemble des entiers qu’on peut prendre au départ pour obtenir 2007 en un certain nombre d’étapes.

3. Quel est le nombre minimum d’étapes nécessaires pour parvenir à 2007 en partant de 3 ?

23-d : Bonnes affaires

concours STG, ES et L

Une chaîne de magasins fait la proposition suivante :

« Pour tout achat d’un montant minimum de 60 euros, un bon d’achat de 10 euros est offert, utilisable

sur un achat d’un montant minimum de 40 euros ».

1. On effectue deux achats successifs, l’un de 60 euros, l’autre de 40 euros. Quelle réduction, exprimée en pourcentage, a été consentie sur l’ensemble de ces achats ?

2. Quelle est, en pourcentage, la réduction consentie sur deux achats successifs de 60 euros ?

3. Un client décide d’effectuer des achats successifs de 60 euros.

a. Quelle est, en pourcentage, la réduction consentie sur trois achats successifs ? Sur quatre achats ?

b. La déduction obtenue sur une série d’achats successifs a-t-elle une limite ?

Correction : http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/clubs_compet/olympiades.htm

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