Examen - sciences mathématique 21, Examens de Génie mathématiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 mai 2014

Examen - sciences mathématique 21, Examens de Génie mathématiques

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Examen de sciences mathématique 21 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Restitution organisée de connaissances, La forme algébrique.
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Baccalauréat

Terminale S septembre 2007

National & La Réunion

1. Exercice 1

5 points

Les parties 1 et 2 portent sur un même thème, la dérivation, mais sont indépendantes.

1. Restitution organisée de connaissances

La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue. On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse et justifier votre réponse.

Dans cet exercice n désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.

P : Soit f la fonction définie sur par   nf x x; alors f est dérivable sur , de dérivée 'f donnée sur

par :   1' nf x nx  .

Q : Soit u une fonction dérivable sur et soit f la fonction définie sur par nf u ; alors f est

dérivable sur , de dérivée 'f donnée par 1' nf nu  .

2. On désigne par g la fonction définie sur  1 ; 1 par  0 0g  et   2

1 '

1 g x

x

 où 'g désigne la

dérivée de la fonction g sur  1 ; 1 ; on ne cherchera pas à expliciter  g x .

On considère alors la fonction composée h définie sur  ; 0 par    cosh x g x .

a. Démontrer que pour tout x de  ; 0 on a  ' 1h x  , où 'h désigne la dérivée de h.

b. Calculer 2

h      

puis donner l’expression de  h x .

2. Exercice 2

6 points

1. La suite u est définie par : u0 = 2 et 1 1 23

3 27 n nu u   pour tout entier naturel n.

a. On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan ci-dessous, la droite d’équation

1 23

3 27 y x  et le point A de coordonnées (2 ; 0).

Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u.

b. Démontrer que si la suite u est convergente alors sa limite est 23

18 l  .

c. Démontrer que pour tout entier naturel n on a : 23

18 nu  .

d. Étudier lamonotonie de la suite u et donner sa limite.

2. a. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que :

1

2

1 1 1 1

9010 10

n

k n

k

    

   c’est-à-dire

que 2 3 1

1 1 1 1 1 ... 1

9010 10 10 10n n  

       

.

b. La suite v est définie par vn = 1,277 7. . .7 avec n décimales consécutives égales à 7.

Ainsi v0 = 1,2, v1 = 1,27 et v2 = 1,277.

En utilisant le 2. a. démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r (c’est-à-dire le quotient de deux entiers).

3. La suite u définie au 1. et la suite v sont-elles adjacentes ? Justifier.

A

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

x

y

3. Exercice 3 (non spécialistes)

5 points

Soit les nombres complexes : 1 2 6z i  , 2 2 2z i  et 1

2

z Z

z  .

1. Écrire Z sous forme algébrique.

2. Donner les modules et arguments de z1, z2 et Z.

3. En déduire cos 12

 et sin

12

 .

4. Le plan est muni d’un repère orthonormal ; on prendra 2 cm comme unité graphique.

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives z1, z2 et Z. Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).

5. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe 2007Z .

4. Exercice 3 (spécialistes)

5 points

1. On considère l’ensemble  7 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 61 ;A  .

a. Pour tout élément a de 7A écrire dans le tableau ci-dessous l’unique élément y de 7A tel que

 1 7ay  (soit modulo 7).

a 1 2 3 4 5 6

y

b. Pour x entier relatif, démontrer que l’équation  3 5 7x  équivaut à  4 7x  .

c. Si a est un élément de 7A , montrer que les seuls entiers relatifs x solutions de l’équation  0 7ax  sont les multiples de 7.

2. Dans toute cette question p est un nombre premier supérieur ou égal à 3.

On considère l’ensemble  2 ; ... ; 11 ;p pA  des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à p.

Soit a un élément de pA .

a. Vérifier que 2pa  est une solution de l’équation  1ax p .

b. On note r le reste dans la division euclidienne de 2pa  par p. Démontrer que r est l’unique solution

dans pA de l’équation  1ax p .

c. Soient x et y deux entiers relatifs. Démontrer que  0xy p si et seulement si x est un multiple de p ou y est un multiple de p.

d. Application : p = 31.

Résoudre dans 31A les équations  2 1 31x  et  3 1 31x  .

A l’aide des résultats précédents résoudre dans l’équation  26 5 1 0 31x x   .

5. Exercice 4

4 points

On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur ; 2 2

      

:

(E) :  ' 1 tan cosy x y x   ,

(E0) : ' 1y y  .

1. Donner l’ensemble des solutions de l’équation (E0).

2. Soient f et g deux fonctions dérivables sur ; 2 2

      

et telles que    cosf x g x x .

Démontrer que la fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction g est solution de (E0).

3. Déterminer la solution f de (E) telle que  0 0f  .

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