Examen sur l'analyse d'algorithmes - 4, Examens de Analyse circuit électriques. Ecole des Ingénieurs de la Ville de Paris
Christophe
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Examen sur l'analyse d'algorithmes - 4, Examens de Analyse circuit électriques. Ecole des Ingénieurs de la Ville de Paris

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Exercices de mathématique - examen sur l'analyse d'algorithmes - 4 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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ENSEIRB-MATMECA Janvier 2070 (1ière session)

Informatique 1ière année - S5

IF105 - Analyse d'algorithmes Durêe :2h.(Notes de cours autori,sées).

. I. Calculs des séquents

1.1. Démontrer, si c'est possible, la validité des séquents suivants. Dans le cas contraire, en donner des contre-exemples :

I. B,-C ---+ -B I C (rappel : -B signifie non B),

2. A---+ (C -

B),8 | C

3. Yr(P(r)-- QQ)), ,P(a)r QQ) a. h(P(n)

- QQD, P(a) | QQ)

1.2. Les formules suivantes sont elles satisfaisables (on en donnera un mo- dèle)? Sont-elles des tautologies (vraies dans tous les modèles)?

7. çt : VrVgR(r,g)

2. çr : h1yfu(r ,g)

1.3. En reprenant les formules de I'exercice précédent, que dire des séquents suivants :

L- gt l çz

2. gzl pr

On en donnera une preuve formelle lorsqu'ils sont valides. Un contre exemple dans le cas contraire.

' II. Correction partielle et terminaison

2.L. Les assertions de Hoare suivantes sont elles valides (on ne justifiera pas les réponses) :

1. { x = 1} i f x ) 0 x := x-3 {x < 20}

2. { x> 1} whi le x > 0 do x := x- l {x = 0}

3. { x = 1} i f x (> 0 then x := x-3 {x < 1}

4. {x= 1} whi le x < y do x := I - x {x < 1}

2.2. Proposer une fonction récursive f @,A) dont les arguments sont neces- sairement des entiers positifs, qui ne termine jamais et telle qu'à chaque appel récursif soit le premier argument soit le second argument décroit strictement. On cherchera une fonction simple.

III. Problème

On considère le morceau de programme C suivant :

int i=0; int 5=5*1' whi le ( i '< j ) do {

k - part ie_entiere ( ( i-+3 ) /2) ; i f (At t l< x) then i = k+1 else 3=1'

)

avec A un tableau de l[entiers (,Af > 0) et r un entier.

3.1. Démontrer la terminaison de cet algorithme.

3.2. On suppose que les entiers de A sont trié par ordre croissant. Montrer que si A[0] < r < AIN - 1] alors la propriêté

,p:(Al i l<usAl i l )

est invariante.

3.3. Que peut-on dire de la valeur de Afi,] à la terminaison de I'algorithme ? On justifiera la réponse à cette question par les résultats des questions 3.1 et 3.2.

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