Examen sur les calculs avancés 4, Examens de Calculs avancés

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Examen de mathématique sur les fonctions numériques - 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: repère orthonormé direct, les applications, l’ensemble des nombres complexes, l’ensemble des applications.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1974 Amiens \

EXERCICE 1

Soit (

O, −→ ı ,

−→

)

un repère orthonormé direct, d’axes x′Ox, y ′Oy , d’un plan affine eu-

clidien orienté P.

Soit R1, R2, R3 les rotations affines planes de centres respectifs : A1 : (2 ; 0), A2 : (0 ; 2),

A3 : (−2 ; 0) et dont les angles ont pour mesure en radians respectivement π

2 , π, π

2 .

Soit S1, S2, S3 les symétries orthogonales planes par rapport aux droites d’équations

respectives :

D1 : y = 0 D2 : x+ y = 2 D3 : −x+ y = 2.

1. Définir analytiquement les applications R1, R2, R3, S1, S2, S3.

2. Déterminer les applications S1 ◦S2, S2 ◦S3, S3 ◦S1.

3. Déterminer l’application R1 ◦R2 ◦R3.

EXERCICE 2

1. Déterminer, dans l’ensemble des nombres complexes, les racines sixièmes du nombre 1 sous forme trigonométrique et sous forme algébrique.

2. Calculer (1− i)6 ; en déduire les racines sixièmes du nombre 8i.

3. Déduire de la deuxième question la valeur de cos π

12 et la valeur de sin

π

12

PROBLÈME

Soit E l’ensemble des applications f de R dans R définies par l’égalité

f (x)= (ax+b)e2x + (cx+d)e−2x

a, b, c, d sont des réels.

1. On pose

f (x)= (ax+b)e2x + (cx+d)e−2x

Calculer les nombres f (0), f ′(0), f ′′(0) et f ′′′(0), f ′′′(0) désigne le nombre dé-

rivé de f , d’ordre 3 en 0).

2. Démontrer que l’ensemble E est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel F des applications de R dans R.

3. Démontrer que les applications f1, f2, f3, f4 définies par les égalités

f1(x)= xe 2x , f2(x)= e

2x , f1(x)= xe −2x , f1(x)= e

−2x

forment une base de l’espace vectoriel E.

(On pourra remarquer que l’application nulle est dérivable et admet comme

dérivée d’ordre quelconque l’application nulle, et utiliser la première ques-

tion).

4. Soit P l’ensemble des applications paires de E, soit I l’ensemble des applica- tions impaires de E,

Terminale C A. P. M. E. P.

a. déterminer les ensembles P et I .

b. démontrer que P et I sont des sous-espaces vectoriels de E,

c. démontrer que les applications h1 et h2 définies par les égalités :

h1(x)= xe 2x

xe−2x et h2(x)= e 2x

+e−2x

forment une base de l’espace vectoriel P et que les applications h3 et h4 définies par les égalités :

h3(x)= xe 2x

+ xe−2x et h4(x)= e 2x

−e−2x

forment une base de l’espace vectoriel I .

5. Soit désormais E1 l’ensemble des applications f deRdansRdéfinies par l’éga- lité :

f (x)= (ax+b)e2x

a et b sont des réels.

a. Montrer queE1 est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel E.Mon- trer que les applications f1 et f2 forment une base de l’espace vectoriel

E1.

b. Soit g l’application définie par l’égalité :

f ∈ E1, g ( f )= f ′.

- démontrer que g est un endomorphisme de E1 (Voir N. B.)

- déterminer la matrice de g dans la base { f1, f2} ; en déduire que g est

un automorphisme de E1.

- soit g−1 l’application réciproquede g ; vérifier que si onposeϕ = g−1( f ),

alors l’application ϕ est une primitive de f ; déterminer lamatrice de g−1

dans la base { f1, f2}.

- on pose : f (x)= (−2x+1)e2x . Déterminer, à l’aide de la question précé-

dente, une primitive de f , puis calculer

∫2

0 (−2x+1)e2x dx.

avec la précision permise par les tables numériques.

N. B. On appelle endomorphisme de E1 toute application linéaire de E1 vers E1.

Amiens 2 juin 1974

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