Examen sur les calculs avancés 5, Examens de Calculs avancés

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Examen de mathématique sur les fonctions numériques - 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: lemodule et l’argument du nombre complexe, la nature de l’application T, le plan vectoriel, la matrice.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C septembre 1974 Amiens \

EXERCICE 1

Linéariser sin5 x.

En déduire la valeur de

π 2

0 x sin5 x dx.

EXERCICE 2

1. Déterminer lemodule et l’argument du nombre complexe 1− itgθ

1+ itgθ ,θ étant un

réel donné.

2. Dans un plan affine euclidien P rapporté au repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

on

considère l’application T qui, à tout point M d’affixe z, fait correspondre le

point M ′ = T (M) d’affixe z ′ = 1− itgθ

1+ itgθ z.

Déterminer l’ensemble des points invariants de P par l’application T .

En déduire la nature de l’application T dont on précisera les éléments.

PROBLÈME

Partie A

Soit E un plan vectoriel et (

−→

ı , −→

)

une base de E. Tout endomorphisme ϕ de E a une

matrice de la forme

(

a c

b d

)

dans la base (

−→

ı , −→

)

. (Voir note 1).

1. Quelles relations existe-t-il entre les réels a, b, c, d pour que ϕ soit un auto- morphisme involutif de E ? Etudier les cas particuliers a = 1, a =−1.

Dans la suite du problème, on supposera que a n’est égal ni à 1, ni à −1.

2. On prend b = 1+ a. Déterminer c et d en fonction de a pour que

(

a c

b d

)

soit

la matrice d’un automorphisme involutif de E que l’on désignera par ϕa

Si S et t sont les endomorphismesdeEdematrices respectives

(

0 1

1 0

)

et

(

1 −1

1 −1

)

dans la base (

−→

ı , −→

)

, vérifier que ϕa = S+at . (Voir note 2).

3. λ étant un réel quelconque, on désigne par Eλ l’ensemble des vecteurs −→

u de

E tels que ϕa

(

−→

u )

=λ −→

u , où a est un réel fixé différent de 1 et de −1.

Déterminer les valeurs λ1 et λ2 de λ pour lesquelles Eλ contient d’autres vec-

teurs −→

u que le vecteur nul de E.

Montrer que Eλ1 et Eλ2 sont deux sous-espaces vectoriels de E dont on don-

nera une base et montrer qu’ils sont supplémentaires.

En déduire la nature de ϕa .

4. Déterminer la matrice de ϕa dans la base (

−→

I , −→

J )

, telle que −→

I = −→

ı + −→

et −→

J = (a−1) −→

ı + (a+1) −→

.

Partie B

Terminale C A. P. M. E. P.

On composemaintenant par la loi ◦ de composition des applications deux automor-

phismes involutifs ϕa et ϕa′ .

1. Montrer que

g =ϕa′ ◦ϕa = IdE+ (aa ′)t

(Voir note 3).

2. Déterminer g 2 = g g . g est-elle involutive ?

(On pourra simplifier les calculs en posant α= aa′).

3. En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que :

gn = g gn−1 = IdE+n(aa ′)t

n étant un entier naturel non nul.

Partie C

On se place maintenant dans le plan affine P associé au plan vectoriel E et rapporté

au repère cartésien (

O, −→

ı , −→

)

.

On considère l’application affine fa associée à ϕa telle que l’image de l’origine soit

K , K étant le point de P de coordonnées p et q .

1. Déterminer analytiquement l’application fa dans le repère (

O, −→

ı , −→

)

.

2. Déterminer, suivant les valeurs de p et q , l’ensemble des points invariants de fa .

3. Montrer que f f est une transformation affine que l’on déterminera avec précision.

4. Quel est l’ensemble des pointsK pour que fa soit une involution affine ?Quelle est, dans ce cas, la nature de f ?

Notes : 1 On appelle endomorphisme de E, toute application linéaire de E vers E. 2 a étant un réel et t étant un endomorphisme de E, on rappelle que at est l’endo-

morphisme de E qui à tout vecteur −→

v de E associe le vecteur a [

t (

−→

v )]

.

3 IdE désigne l’application identique dans E.

Amiens 2 septembre 1974

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