Examen sur les circuits et systèmes, Examens de Mathématiques Appliquées
Christophe
Christophe28 février 2014

Examen sur les circuits et systèmes, Examens de Mathématiques Appliquées

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Examen de mathématique sur les circuits et systèmes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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Département Electronique, 1er6 année 2009/2010

Examen de Circuits et Systèmes I - EAU8 Systèmes linéaires - Systèmes linéaires bouclés

Janvier 2010

2h - Documents personnels autorisés

Remarque générale : la présentation sera prise en compte dans la notation : respect des notations, orthographe, explications/raisonnement, clarté, mise en évidence des résultats demandés.

1. L'étude fréquentielle d'un système a permis de tracer le diagramme de Bode représenté en Figure 1 (Annexe 1), que nous allons exploiter dans un premier temps pour caractériser ce système.

a. Définir et évaluer graphiquement : le gain statique, le coefficient^ de résonance, la pulsation de résonance COR, la pulsation de coupure con.

b. D'après ce diagramme de Bode, en gain et en phase, justifiez qu'il s'agit d'un système dit « à déphasage minimal ».

c. Identifier, en la justifiant, la forme de la fonction de transfert G(p) de ce système, et évaluer les valeurs numériques de ses différentes composantes.

2. On réalise un asservissement en plaçant ce système dans un montage bouclé (Figure 2), à retour unitaire, avec un correcteur de fonction de transfert notée C(p). Ce correcteur est composé d'un montage à amplificateurs opérationnels, défini en Figure 3.

Figure 2 : Montage corrigé avec boucle de rétroaction unitaire.

R R

R

Figure 3 : Schéma électrique du correcteur C(p).

a. En supposant les amplificateurs opérationnels idéaux, déterminer la transmittance C(p) du correcteur, sous forme canonique, en fonction des éléments du montage.

b. Définir la fonction de transfert H(p) du montage en boucle fermée et écrire son expression en fonction de G(p) et C(p).

c. De la même façon, déterminer l'expression de l'écart e(p) en fonction de l'entrée E(p) et à&H(p).

Département Electronique, 1ere année 2009/2010

3. Nous étudions la réponse du système dans le domaine temporel. Définir les erreurs s(t) lorsque t tend vers oo pour un signal d'entrée de type :

a. Echelon : e(t) = u(t) b. Rampe ou échelon de vitesse : e(t) = t-u(t) c. Estimer ces erreurs en l'absence du correcteur (ou en considérant C(p) = 1) d. Conclure sur l'intérêt du correcteur.

4. Nous souhaitons appliquer le critère géométrique du revers pour étudier la stabilité du système en boucle fermée (retour unitaire) à partir de la caractéristique en boucle ouverte.

a. Justifier les conditions d'applicabilité de ce critère, pour G(p) ou C(p)-G(p). b. A partir du diagramme de Bode représentant G(p), évaluez la marge de phase et indiquez

si le montage correspondant en boucle fermée (retour unitaire) serait stable. c. Représenter sommairement l'allure du diagramme de Bode (gain et phase, courbes

asymtotiques) du correcteur C, en faisant apparaître les éléments caractéristiques. d. A partir des seules courbes de phase, quelle condition sur les éléments du montage (Ri,

R2, R et/ou Q permet d'assurer la stabilité du système complet ?

V

5. Le correcteur a pour transmittance C(p) = — (1 + 0,2p). P

a. Tracer son diagramme de Bode en phase superposé à celui de G(p) sur la Figure 1 : asymptotes et courbe.

b. En déduire le tracé point par point de celui de C(p)-G(p). c. Déterminer K pour que la marge de phase du système complet soit de 45°. d. Superposer les diagrammes de Bode en gain de C(p) et C(p)-G(p) : asymptotes et

courbes. e. Estimer quelles sont alors les valeurs du facteur de résonance et de la bande passante à

-3dB.

6. Conclure brièvement sur le rôle du correcteur : influence sur la stabilité et la précision du système en boucle fermée.

Ne pas oublier de rendre la feuille ANNEXE complétée avec la copie.

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