Exerccies de géométrie algébrique, Exercices de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez28 janvier 2014

Exerccies de géométrie algébrique, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématiques sur la géométrie algébrique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exerccies de 1 à 3.
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M2, Géométrie Algébrique I, Cours de Jean-François Dat 2008-2009

TD - Feuille 1

Exercice 1 Soit k un corps et f : A2k → A1k le morphisme défini par f(x, y) = y2 − x3. (1) Calculez Ω1f et reliez-le à Ω1A1k/k et Ω

1 A2k/k

.

(2) Soit C = V (f). Calculez Ω1C/k et reliez-le à Ω 1 A2k/k

.

Exercice 2 Soit `/k une extension finie de corps. En utilisant des sous-extensions monogènes, montrez que Ω1`/k = 0 si et seulement si `/k est séparable.

Exercice 3 Soit E un espace vectoriel de dimension n + 1 sur un corps k et P(E) l’espace projectif correspondant (notation de Grothendieck).

(1) Rappelez la définition de P(E) comme schéma, et la propriété universelle qu’il vérifie.

On souhaite établir la suite exacte d’Euler :

0→ Ω1P(E)/k(1)→ E ⊗OP(E) → O(1)→ 0

où E ⊗ OP(E) → O(1) est l’application d’évaluation. On pose K = ker(E ⊗ OP(E) → O(1)), on fixe une base x0, . . . , xn de E, et on note xk/i = xkxi , pour k 6= i, les coordonnées affines sur l’ouvert standard Ui = {xi 6= 0}. (2) Que mettre à la place de ∗ pour définir sur Ui un morphisme ϕi : Ω1P(E)/k(1)→ K par∑

k 6=i

dxk/i ⊗ gk 7→ x0 ⊗ g0 xi

+ · · ·+ xi−1 ⊗ gi−1 xi

+ xi ⊗ ∗ + xi+1 ⊗ gi+1 xi

+ · · ·+ xn ⊗ gn xi

?

(3) Vérifiez que les morphismes ϕi se recollent en un isomorphisme Ω1P(E)/k(1)→ K sur X.

Exercice 4 Soit F un faisceau localement libre de rang r sur un schéma X et σ une section de H0(X,F) ⊗ OX sur un ouvert U . Sous l’hypothèse que l’image de σ dans F est nulle, on souhaite lui associer une section dσ de Ω1X ⊗F . Pour cela, on écrit σ = σ1⊗ f1 + · · ·+ σn⊗ fn. Puis sur des ouverts assez petits qui recouvrent U , on prend une trivialisation locale de F et on différentie les coordonnées de σ dans cette trivialisation ; précisément, localement

F|V = OV t1 ⊕ · · · ⊕ OV tr , σi = σi1t1 ⊕ · · · ⊕ σirtr

et on pose

dV σ = n∑

i=1

dσi1 ⊗ fit1 ⊕ · · · ⊕ u∑

i=1

dσir ⊗ fitr .

Montrez que les dV se recollent en une section bien définie dσ de Ω1X ⊗F . (Commencez par le cas r = 1.) Utilisez ceci pour retrouver la suite exacte d’Euler de l’exercice précédent.

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