Exerccies de mathématiques générales, Exercices de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez28 janvier 2014

Exerccies de mathématiques générales, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de mathématiques sur les mathématiques générales - Contrôle continu. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercice 1 et 2.
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classe-2010-2011-controle-continu-1-novembre2010

Université de Pau et des Pays de l’Adour 2010 - 2011

MATHS GENERALES 1 Contrôle continu Durée : 1 heure 15

Calculatrices UPPA autorisées Exercice 1 : Soit M une matrice carrée de taille ),( nn . On note Mt sa transposée . M est dite

symétrique si Mt = M , M est dite antisymétrique si Mt = M− . a) Soit A la matrice de taille ( )3,3 dont le terme général est : ( ) 2, 1++= jia ji pour 31 ≤≤ i et 31 ≤≤ j et soit B la matrice de taille ( )3,3 dont le terme général est : jib ji −=, pour 31 ≤≤ i et 31 ≤≤ j . Donner les matrices A et B ; sont-elles symétriques ? antisymétriques ? b) Montrer que, quelque soit la matrice M de taille ),( nn , ( )MM t+ est symétrique et que ( )MM t− est antisymétrique. c) Montrer que toute matrice de taille ),( nn peut s’écrire comme la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique. Exercice 2 : Pour ∈n Ν, 2≥n on définit la matrice carrée de taille ),( nn suivante :

( ) njijin

aA ≤≤

= ,1,

où   

= ≠

= jisi

jisi a ji 0

1 , .

L’objectif de cet exercice est de montrer que nA est inversible et de calculer

1− nA .

1) Cas n = 2 et n = 3:

a) Soit  

  

 =

01

10 2A . Calculer

2 2A . En déduire que 2A est inversible et

donner 12 −A .

b) Soit   

  

= 011

101

110

3A .

Calculer 3

2 3 AA − . En déduire que 3A est inversible et donner

1 3 −A .

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2) Cas général : a) Pour ∈n Ν, 2≥n on définit la matrice carrée de taille ),( nn suivante :

( ) njijin

bB ≤≤

= ,1,

où ( ) ∈∀= jib ji ,1, 〚1 , n 〛2 . Donner 3B puis exprimer

2 3B en fonction de 3B .

Donner une expression de 2nB en fonction de nB .

b) Exprimer nA en fonction de nB et de nI ( nI est la matrice unité de taille ),( nn )

En déduire une expression de 2nA en fonction de 2 nB , nB et nI .

c) A l’aide des deux questions précédentes, montrer que ( ) ( ) nnn InAnA 122 −+−= . En déduire que nA est inversible et donner une expression de

1− nA .

Exercice 3 : 1) Question de cours : Soit f une application d’un ensemble E vers un ensemble F . Donner une définition de : f est surjective. 2) Soient E et F deux ensembles et f et g deux applications telles que :

FEf →: et EFg →: . a) Donner les ensembles de départ et d’arrivée de fg o .

b) On note EI l’application identité de E  

  

→ →

xx

EE I E : .

Montrer que si fg o = EI alors f est injective et g surjective.

3) Soit ] ] [ [ →∞+∪−∞− ;21;:h Ρ ( ) ( )12 +−→ xxx a) h est-elle injective ? surjective ? bijective ? Justifier. b) Donner un ensemble de départ E tel que →Eh : Ρ soit injective. Justifier votre réponse. ( ) ( )12 +−→ xxx

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