Exercice de algèbre commutative et géométrie algébrique, Exercices de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez28 janvier 2014

Exercice de algèbre commutative et géométrie algébrique, Exercices de Mathématiques

PDF (223 KB)
3 pages
2Numéro de téléchargement
966Numéro de visites
Description
Exercices de mathématiques sur la algèbre commutative et géométrie algébrique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: A designe un anneau commutatif avec unite et k un corps, exercices, Demontrer les assert...
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 3
Télécharger le document

ACGA 2012-2013

Algèbre commutative et géométrie algébrique

TD n◦ 1

Dans tous les exercices, A désigne un anneau commutatif avec unité et k un corps.

Exercice 1. Démontrer les assertions suivantes:

a) I ⊆ (I : J), (I : J)J ⊆ I;

b) ((I : J1) : J2) = (I : J1J2) = ((I : J2) : J1);

c) ( ⋂

i Ii : J) = ⋂

i(Ii : J);

d) (I : ∑

i Ji) = ⋂

i(I : Ji).

Exercice 2. Soient A,B deux anneaux et φ : A→ B un morphisme d’anneaux. Pour I un idéal de A, on note Ie l’idéal de B engendé par φ(I). Pour J un idéal de B, on note Jc := φ−1(J) qui est un idéal de A. Vérifier les assertions suivantes:

a) I ⊆ Iec, J ⊇ Jce;

b) Ie = Iece, Jc = Jcec;

c) (I1 : I2) e ⊆ (Ie1 : Ie2), (J1 : J2)c ⊆ (Jc1 : Jc2);

d) ( √ I)e ⊆

√ Ie, ( √ J)c =

√ Jc.

Exercice 3. Soient I, J deux idéaux de A. Démontrer les assertions suivantes:

a) √ I · J =

√ I ∩ J =

√ I ∩ √ J ;

b) √√

I = √ I;

c) √ I + √ J ⊆ √ I + J ;

d) si p est un idéal premier, alors √ p = p;

e) si (pi)1≤i≤n sont n idéaux premiers de A tels que I ⊂ ⋂

i pi ⊂ √ I, alors

√ I =

⋂ i pi.

Exercice 4. Soit φ : A→ B un morphisme d’anneaux avec I = φ−1(0) le noyau de φ.

a) Si p est un idéal premier de B, alors φ−1(p) est un idéal premier de A.

b) Si φ est surjectif et p est un idéal premier de A contenant I, alors φ(p) est un idéal premier de B.

c) Si φ est surjectif, en déduire qu’il y a une bijection entre les idéaux premiers de A contenant I et les idéaux premiers de B.

docsity.com

Anneaux noethériens

Exercice 5. Soit A un anneau noethérien et a ∈ A un élément qui est non inversible et non diviseur de zéro. Montrer que a s’écrit comme un produit fini d’éléments irréductibles de A, c’est-à-dire, a = a1 · · · an avec ai des éléments irréductibles de A. (Attention: en général on n’a pas d’unicité pour la décomposition.)

Exercice 6. Soit I un idéal de A. Par définition, un idéal premier minimal contenant I est un élément minimal de l’ensemble des idéaux premiers de A qui contiennent I.

a) Montrer que, pour tout idéal propre I de A, il existe un idéal premier minimal contenant I. (Indication: utiliser le lemme de Zorn.)

b) Supposons que A est noethérien. Montrer que il n’y a qu’un nombre fini d’idéaux premiers minimaux contenant I.

c) Supposons que A est noethérien et réduit (c’est-à-dire, Nil(A) = (0)). Soient p1, . . . , pn les idéaux premiers minimaux contenant (0). Montrer que

⋂n i=1 pi = (0) et que

n⋃ i=1

pi = l’ensemble des diviseurs de zéro dans A.

Exercice 7. On considère A[[X]] = { ∑

n≥0 anX n, an ∈ A} l’anneau des séries formelles sur A

de l’indéterminée X.

a) Montrer qu’un élément ∑

n≥0 anX n est inversible dans A[[X]] si et seulement si son coeffi-

cient constant a0 est inversible dans A.

b) Lorsque A = k est un corps, déterminer tous les idéaux de A[[X]]. En déduire que A[[X]] est un anneau noethérien.

c)∗ Plus généralement, montrer que A[[X]] est noethérien lorsque A est noethérien.

Exercice 8. (Exemples d’anneaux non noethériens)

a) Soit A le sous-ensemble de k[X,Y ] formé des éléments de la forme ∑ ai,jX

iY j (somme finie) qui ne contiennent pas de monôme en puissance de Y . Montrer que c’est un sous-anneau de k[X,Y ] et qu’il n’est pas noethérien.

b) Soit C0(R,R) l’ensemble des fonctions continues de R dans R (muni d’une structure d’anneau de manière évidente). Montrer qu’il n’est pas noethérien.

Exercice 9. Montrer que I = 〈XY,XZ, Y Z〉 est un idéal radical de k[X,Y, Z].

Exercice 10. Considérons deux idéaux I1 = 〈X2 + Y 2, XY 3〉 et I2 = 〈X2, Y 3〉 de k[X,Y ].

a) Montrer que V(I1) = V(I2) = (0, 0) dans k2.

b) Montrer que I1 6= I2. Déterminer leurs radicaux.

Exercice 11. Déterminer dans k3 l’ensemble algébrique V(I) pour I = 〈X2 − Y Z,XZ −X〉 ⊂ k[X,Y, Z].

Exercice 12. Soit V le sous-ensemble de k3 défini par {(t, t2, t3), t ∈ k}. Montrer que I(V ) = 〈Y − X2, Z − X3〉 (dans k[X,Y, Z]). (Indication: Montrer que tout polynôme f ∈ k[X,Y, Z] s’écrit sous la forme f = g1(Y −X2) + g2(Z −X3) + h, où g1, g2 ∈ k[X,Y, Z] et h ∈ k[X].)

docsity.com

Topologie de Zariski sur SpecA

Exercice 13. À tout idéal I de A, on pose V (I) l’ensemble des idéaux premiers de A contenant I:

V (I) := {p ∈ SpecA : I ⊂ p}.

Montrer les assertions suivantes:

a) V (0) = SpecA, V (A) = ∅;

b) V ( ∑

i Ii) = ⋂

i V (Ii);

c) V (I ∩ J) = V (I) ∪ V (J);

d) En déduire que les V (I) forment les fermés d’une topologie sur SpecA, que l’on appelle la topologie de Zariski.

Exercice 14. Soit φ un morphisme d’anneaux. Soient X = SpecA et Y = SpecB. Soit φ∗ : Y → X le morphisme induit par φ: φ∗(q) := qc = φ−1(q) si q ∈ SpecB. Montrer que, si I est un idéal de A, on a φ∗−1(V (I)) = V (Ie). En déduire que φ∗ est continu par rapport à la topologie de Zariksi sur X et Y .

Exercice 15. Pour f ∈ A, on dénote D(f) le complémentaire de V (f) dans SpecA. Montrer les assertions suivantes:

a) D(f) ∩D(g) = D(fg);

b) D(f) = ∅ ⇔ f est nilpotent;

c) D(f) = SpecA⇔ f est inversible;

d) D(f) = D(g)⇔ √ 〈f〉 =

√ 〈g〉;

e) SpecA est quasi-compact.

docsity.com

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Télécharger le document