Exercice - Math - les nombres, Exercices de Génie mathématiques

Exercice - Math - les nombres, Exercices de Génie mathématiques

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Exercices de math sur les nombres. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction numérique de la variable réelle, la continuité de f, l’ensemble des nombres complexes.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C 1975 Toulouse \

EXERCICE 1

Étudier les restes des quatre nombres : 2, 22, 23, 24 dans la division par 5, et démon- trer que, quel que soit l’entier strictement.positif n, le nombre

174n+2+324n−1+3 est divisible par 5.

EXERCICE 2

Soit f la fonction numérique de la variable réelle définie sur R+ par :

f (0) = 0 f (x) = −2xLog x x ∈]0 ; 1[ (Log : logarithme népérien) f (x) = −xex−1+1 ∀x ∈ [1 ; +∞[

1. Étudier la continuité de f sur R+

2. La fonction f est-elle dérivable sur R+ ?

3. Étudier la variation de la fonction f (on ne demande pas la construction de la courbe représentative).

PROBLÈME

Partie A

Soit E l’ensemble des matrices carrées 2×2 à termes réels de la forme :

m =

(

a b

0 a

)

E est muni des lois addition et multiplication définies par : a . b) (a’ b’) ( a + a’

m+m′ =

(

a b

0 a

)

+

(

ab

0 a

)

=

(

a+ab+b

0 a+a

)

m×m′ =

(

a b

0 a

)

×

(

ab

0 a

)

=

(

aaab′+ab

0 aa

)

C est l’ensemble des nombres complexes notés

z = a+bi, (a ; b) ∈R2

On considère l’application ϕ :

ϕ : C → E

a+bi 7−→

(

a b

0 a

)

1. Démontrer que ϕ est un isomorphisme de (C, +) sur (E, +). L’application ϕ est-elle un isomorphisme de (C, ×) sur (E, ×) ?

2. Démontrer que (E,+, ×) est un anneau. Cet anneau est·il commutatif ? Est-il unitaire ? Quels sont les éléments inversibles de cet anneau ?

Terminale C A. P. M. E. P.

3. ϕ associe à z = a+bi la matricem =

(

a b

0 a

)

à z ′ = a′+b′i la matricem′ =

(

ab

0 a

)

On notera zTz ′ le nombre complexe dont l’image par ϕ estm×m′. On définit ainsi une loi de composition interne dans C. Démontrer que ϕ est un isomor- phisme de (C, +, T) sur (E, + , ×).

En déduire la structure de (C, +, T).

Quelle est la restriction de la loi T à R ?

4. a. On note

z(0) = 1, z(1) = z, ∀n ∈N⋆, z(n) = z(n−1) T z

Calculer i(2) et i(n) pour n> 2.

En posant z = a+bi, calculer z(n).

b. Résoudre, dans C, les équations

z(2) = 1

z(n) = 1 n étant un entier naturel donné supérieur à 2

z(n) =α,α étant un réel donné, n un entier naturel donné supérieur ou égal à 2.

c. Résoudre, dans C, l’équation

z(2)− z−6+4i= 0

Partie B

1. Soit P un plan vectoriel de base (

−→ ı ,

−→

)

. Soit F l’application linéaire de P vers

P dont la matrice dans la base (

−→ ı ,

−→

)

estm =

(

a b

0 a

)

, (a ; b) ∈R2.

a. Dans quels cas F est-elle bijective ?

b. Suivant les valeurs de a et b, quel est l’ensemble des vecteurs invariants

par F ? (On notera (X ; Y ) les coordonnées d’un vecteur −→ u , et

(

X ′ ; Y ′ )

celles de F (

−→ u )

.

2. Soit Π un plan affine de repère (

O, −→ ı ,

−→

)

associé au plan vectoriel π. Soit f

l’application affine de Π vers Π ayant F pour application linéaire associée et telle que le point O soit invariant.

a. Exprimer en fonction de coordonnées (x ; y) d’un point M les coordon- nées

(

x′ ; y ′ )

de son image M ′ = f (M).

b. Dans le cas particulier où a = 1

2 et b = 5, quelle est l’équation de la

courbe Γ′ transformée de la courbe Γ d’équation y2 = x ?

Préciser sa nature et ses éléments.

c. Soit le point I0 de coordonnées (4 ; −3) et les points I1, I2, . . . , In images respectives par f des points I0, I1, . . . , In−1.

Déterminer les coordonnées des points I1, I2, . . . , In en fonction de a et b.

Dans le cas particulier où a = 1

2 et b = 5, lorsque n augmente indéfini-

ment dans N, le point In a-t-il une position limite ?

Toulouse 2 septembre 1974

Terminale C A. P. M. E. P.

d. Soit Gn le barycentre des points I0, I1, . . . , In affectés de coefficients tous égaux à 1.

Donner les coordonnées de Gn en fonction de a et b.

Dans le cas particulier où a = 1

2 et b = 5, lorsque n augmente indéfini-

ment dans N, le point Gn a-t-il une position limite ?

Toulouse 3 septembre 1974

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