Exercice - Math - les suites arithmétiques réelles, Exercices de Génie mathématiques

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Exercices de math sur les suites arithmétiques réelles. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction, la base canonique.
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[ Baccalauréat C Portugal juin 1974 \

EXERCICE 1

Soit S l’ensemble des suites arithmétiques réelles, c’est-à-dire de toutes les applica-

tions u : N → R ,del a f or me : n 7−→ un = a +nb

(a, b constantes réelles). Étant donné deux entiers distincts p, q supérieurs à 1, on considère dans S les deux relations binaires, notées respectivement

(

γp )

et (

γq )

ainsi définies :

u (

γp )

v ⇐⇒ [

(∀λ∈N)(n =λp)=⇒ (un 6 vn) ]

u (

γq )

v ⇐⇒ [

(∀λ∈N)(n =λqp)=⇒ (un 6 vn) ]

Démontrer que ces deux relations sont équivalentes.

EXERCICE 2

Soit la fonction f : R→R telle que

f (x)= (2x −1)2.

On lui associe deux fonctions α et β en posant pour tout x réel :

α(x)= sup x6t6x+1

f (t)

(ce qui signifie queα(x) est lemaximum de la restriction de f au segment [x ; x+1]).

β(x)= ∫x+1

x f (t)dt .

Calculer explicitement α(x) et β(x). Constater, et si possible justifier, que, pour tout x réel, α(x) > β(x). Tracer sur une même figure (axes orthonormés) les représentations de leurs graphes.

PROBLÈME

Les parties A, B, C peuvent être abordées indépendamment

Partie A

Soit le plan vectoriel réel R2 ; (1, 0) et (0, 1) forment la base canonique. Étant donné un endomorphisme f de ce plan - c’est-à-dire une application linéaire de ce plan dans lui-même -, on dira qu’une base (u, v) de R2 est adaptée à f si les deux condi- tions suivantes sont réalisées :

(1)

{

v f (u) est colinéaire à u u+ f (v) est colinéaire à v.

1. Montrer que si (u, v) est adaptée à f , (v, u) est adaptée à − f . 2. Soit s la symétrie : (x ; y) 7−→ (−x ; y).

Vérifier que (

1+ p 2 ; 1

)

et (

1 ; 1+ p 2 )

forment une base adaptée à s.

Combien existe-t-il de bases adaptées à s et dont le premier vecteur (

x1 ; y1 )

. est donné ? On achèvera de les déterminer en calculant en fonction de xl et YI le second vecteur.

3. À un endomorphisme g on associe sa matrice dans la base canonique. Quand cette base est adaptée à g, décrire la forme de la matrice. 2

Le baccalauréat de 1974 A. P. M. E. P.

Partie B

Si a,b sont deux réels, on note ga, b l’endomorphisme deR dematrice

(

a −1 1 b

)

dans

la base canonique. Soit D l’ensemble des éléments (x ; y) de R vérifiant :

sup (

|x|, |y | )

6 1.

Soit ∆ l’ensemble de ceux qui vérifient :

|x|+ |y |6 1.

Soit ∆(a, b) l’image de ∆ par ga, b .

1. Démontrer : δ(1 ; 1)= D. 2. Démontrer : [∆(a ; b)⊂ D] ⇐⇒ [(a ; b)∈ D]

(L’interprétation, d’ailleurs conseillée, de ces résultats sur une figure ne sau- rait tenir lieu de démonstration).

Partie C

On donne le nombre complexe c = i−1 p 2 .

À chaque élément z = x + iy de C on associe son image (x ; y) dans R2 muni de la structure euclidienne habituelle.

1. Définir géométriquement la transformation h : z 7−→ cz, considérée comme un endomorphisme du plan euclidien, et sa réciproque h−1.

Démontrer que l’on a, pour tout vecteur w du plan :

(2) h(w)+h−1(w)=− p 2.w

2. Rechercher deux réels α et β tels que :

(α+c)(βc)= 1

3. Soit u un vecteur non nul du plan. Montrer que (u, h(u)) et (

u, −h−1(u) )

sont des bases adaptées à h (voir partie A).

Démontrer, à l’aide de (2) ou de C - 2., qu’il n’existe pas d’autre base, adaptée à h, de premier vecteur u.

Portugal 2 juin 1974

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