Exercice sur les suites et les séries de fonctions, Exercices de Mathématiques Appliquées
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercice sur les suites et les séries de fonctions, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercices de mathématiques sur les suites et les séries de fonctions. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Rayon de convergence de series entiere, Etude d'une serie entière.
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Université de Rennes 1– 2012/2013

L3–Suites et séries de fonctions–Feuille de TD 4

Exercice 1. (Rayon de convergence de séries entières) Déterminer le rayon de convergence des séries entières

∑ n anz

n de la variable complexe z pour les suites (an)n suivantes:

(i) an = n!

(2n)! (ii) an = log n

(iii) an = n

3n + 1 z2n (iv) an =

(2 + i)n

n2n zn

(v) a2n = 2n et a2n+1 = 3n (vi) an = (1 + 2ni)n

Exercice 2. (Rayon de convergence de séries entières) Déterminer le rayon de convergence des séries entières

∑ n anz

n de la variable complexe z pour les suites (an)n suivantes:

(i) an = log (1 + sin(1/n)) (ii) an = sin(πn/3)

(iii) an = e1/n − 1 (iv) an = cos (1/n)− 1 + 1/n2

Exercice 3. (Etude d’une série entière) On considère la série entière

∑ n≥1 tan(

1 n )x

n de la variable réelle x. (i) Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière. (ii) Montrer, à l’aide du critère de Leibniz des séries alternées, que la série entière est convergente pour x = −R. (iii) Montrer que la série entière est divergente pour x = R.

Soit S la somme de la série entière ∑

n≥1 tan( 1 n )x

n. (iv) Determiner les séries entières

∑ n bnx

n et ∑

n cnx n qui représentent autour de

0 la dérivée S′ et la primitive F de S avec F (0) = 0. (v) Determiner l’ensemble de tous les x ∈ R pour lesquels la série

∑ n bnx

n con- verge. (vi) Determiner l’ensemble de tous les x ∈ R pour lesquels la série

∑ n cnx

n con- verge.

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