Exercices - algèbre 10, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique - algèbre 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, le système.
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[ Baccalauréat C Paris 1 septembre 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Résoudre dans Z×Z

1. l’équation

3x−5y = 6

2. le système

{

3x−5y = 6 y = x2 (mod5).

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit R⋆+ l’ensemble des nombres réels strictement positifs. On considère l’application F de R⋆+ dans R définie par

F (x)= ∫x

1

et

t dt

On n’essaiera pas de « calculer l’intégrale ».

1. Étudier le sens de variation de F .

2. Étudier le signe de la fonction f de R dans R définie par

f (x)= F (x)−Log x,

où Log désigne la fonction logarithme népérien.

En déduire lim x→0 x>0

F (x) et lim x→+∞

F (x).

3. Soit (C ) la courbe représentative de F dans un plan affine euclidien P muni d’un repère orthonormé. On admet, pour tout réel t , l’inégalité

et > te t 2 .

Que peut-on en déduire sur la branche infinie de (C ) lorsque x tend vers+∞ ?

Tracer dans P la courbe (C ).

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

Soit A l’ensemble des matrices de la forme

(

a c

0 b

)

où (a, b, c) décrit R3. On note I

la matrice

(

1 0 0 1

)

.

1. Créteil–Versailles

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

1. On donne A =

(

a c

0 b

)

élément de A .

Démontrer que, pour tout entier n, n > 1, il existe un nombre réel γn tel que

An =

(

an γn 0 bn

)

.

Démontrer que, si a 6= b,

γn = c an bn

ab .

Dans le cas où a = b, exprimer γn en fonction de a, c, n.

2. On désigne par A ′ l’ensemble des éléments A =

(

a c

0 b

)

de A pour lesquels il

existe un entier n> 1 tel que An = I.

a. Montrer que |a| = |b| = 1.

b. Montrer que A est de l’une des formes suivantes :

A = I, A =−I, A =

(

1 c 0 1

)

, A =

(

1 c 0 −1

)

.

c. Conclure que tout élément A de A ′ vérifie A2 = I.

Partie B

Soit E un espace vectoriel sur R, de dimension deux, muni d’une base (

−→ ı ,

−→

)

. L’ap-

plication identique de E est notée e . Etant donné une application linéaire g de E dans E, on note, pour tout entier k > 2, g k la composée de k applications égales à g ; g 1 désigne, suivant l’usage, g .

Exemple préliminaire : on considère l’application linéaire u de E dans E définie par

u (

−→ ı

)

= −→ et u

(

−→

)

=− −→ ı +

−→ .

1. Montrer que l’équation u=e, dont l’inconnue est l’entierm strictement positif, admet au moins une solution. Résoudre l’équation.

2. Montrer que, pour tout vecteur non nul −→ v de E,

−→ v et u

(

−→ v

)

forment une partie

libre.

Objet du problème : On s’intéresse aux applications linéaires f de E dans E, dis- tinctes de e, pour lesquelles il existe un entier strictement positif q tel que f q = e. Pour chaque application f , on désigne par p le plus petit entier strictement positif tel que f p = e. On distingue, pour une telle application, les deux cas suivants :

1. Cas A : il existe au moins un vecteur non nul −→ w tel que f

(

−→ w

)

soit colinéaire à −→ w .

Ce vecteur −→ w étant fixé, on choisit une base de E dont le premier vecteur est

−→ w .

a. Montrer que la matrice de f relativement à cette base est de la forme

(

a c

0 b

)

b. Que vaut p ? Quelles sont toutes les applications f de ce cas A ?

2. Cas B : Pour tout vecteur −→ v non nul,

−→ v et f

(

−→ v

)

forment une partie libre.

Paris – Créteil – Versailles 2 septembre 1977

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

a. Montrer que p = 2 est impossible, en considérant l’image par f du vec-

teur f (

−→ v

)

− −→ v ou du vecteur f

(

−→ v

)

+ −→ v .

b. Soit −→ v0 un vecteur non nul de E. On pose, pour tout entier k > 1,

−→ vk =

f k (

−→ v0

)

. Montrer, dans l’ordre que l’on préférera, que

(

−→ v0 ,

−→ v1

)

est une base de E et que, dans cette base, la matrice de

f est de la forme (

0 c||1 b )

c =+1 ou c =−1 ; (on ne cherchera ni à déterminer le signe de c, ni à calculer b) ;

f (

−−−→ vp−1

)

= −→ v0 , les vecteurs

−→ vk sont tousnonnuls et la somme

p−1 ∑

k=0

−→ vk

est nulle.

Partie C

On définit un produit scalaire sur l’espace vectoriel E : il associe à deux vecteurs −→ x

et −→ y de E le réel noté

−→ x ·

−→ y .

1. Étant donné une application linéaire g de E dans E et un entier r supérieur ou égal à deux, on pose :

Φg , x

(

−→ x ,

−→ y

)

= −→ x ·

−→ y +

r−1 ∑

k=1 g k

(

−→ y

)

(x).

Montrer que l’application Φg , x de E2dans R est, elle aussi, un produit scalaire sur E.

2. On prend pour g une application f de la partie B et pour r l’entier p associé. Onnote

(

E, Φ f )

l’espace vectoriel euclidien obtenu enmunissant E duproduit scalaire Φ f , p désigné parΦ f .

Démontrer que

a. f est une isométrie de (

E, Φ f )

,

b. si p est strictement supérieur à deux, f est une rotation de (

E, Φ f )

.

c. On prend ici f =u ,où u est l’application considérée au début de B.

Calculer Φu (

−→ ı ,

−→ ı

)

, Φu (

−→ ,

−→

)

et Φu (

−→ ı ,

−→

)

.

Interpréter la valeur du rapport Φu

(

−→ ı ,

−→

)

Φu

(

−→ ı ,

−→ ı

) . Vérifier cette interprétation

en tenant compte de la valeur de l’entier p associé à u.

Paris – Créteil – Versailles 3 septembre 1977

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