Exercices - algèbre 2, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique - algèbre 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la la base des logarithmes népériens, le plan affine euclidien.
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[ Baccalauréat C Montpellier septembre 1977 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit l’équation :

ex −2e−x =m (m ∈R)

(e est la base des logarithmes népériens)

1. Exprimer x en fonction dem.

2. Pourm = 1

2 , calculer la valeur approchée de x avec la précision donnée par la

table de logarithmes.

EXERCICE 2 5 POINTS

P est le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. On consi-

dère les applications :

f ′ : P →P

M 7−→ M f ′′ :

P →P

M 7−→ M ′"

M , M ′ et M ′′ ont respectivement pour affixes z, z ′ et z ′′ avec :

z ′ = (2−2i)z+1 z" = (2+2i)z+1

1. Reconnaître f ′ et f ′′ et trouver leurs éléments canoniques.

2. Calculer z ′ ; comparer z ′ et z ′′, en déduire que f ′′ = sf ′ où s désigne la symé-

trie orthogonale ayant pour axe la droite de repère (

O, −→ ı

)

.

3. a. Construire la courbe (Γ) d’équation 4x2−4y2 = 1.

b. Déterminer les équations cartésiennes de f ′(Γ) et f ′′(Γ).

PROBLÈME 12 POINTS

Soit la fonction f :

R → R

x 7−→ x2+3x+6

2x−4 1. Montrer qu’existent a, b, c réels tels que, pour tout x différent de 2 :

f (x)= ax+b+ c

2x−4 .

2. Étudier la fonction f , construire la courbe représentative C dans un plan rap-

porté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Montrer que C admet une asymp-

tote oblique et un centre de symétrie ω.

3. Déterminer l’équation Y = F (X ) de la courbeC dans le repère (

ω, −→ ı ,

−→ ı

)

.

a. Montrer que le produit XY des coordonnées d’un point deC par rapport

au repère (

ω, −→ ı ,

−→ ı

)

, est strictement supérieur à 8.

b. Discuter, selon les valeurs du paramètre t , l’intersection de la droite Dt d’équation Y = tX et de la courbeC . Exprimer en fonction de t les coor- données (X ; Y ) des points d’intersection quand ils existent.

Retrouver en étudiant les variations de la fonction t 7−→ XY le résultat du a.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

4. H désigne la courbe qui a pour équation y = 8

x−2 dans le repère

(

O, −→ ı ,

−→

)

.

Soit vn l’aire de la portion de plan limitée par les droites d’équations x = 6, x = 6+n (n N⋆) et les courbesC et H .

a. Exprimer vn en fonction de n.

b. Montrer que la somme des carrés des n premiers entiers naturels non nuls est égale

n(n+1)(2n+1)

6

En déduire la somme Sn = v1+ v2+ . . .+ vn en fonction de n.

c. Montrer que le plus petit entier naturel n satisfaisant à la condition

sn > 100 est 6.

5. On considère maintenant la suite (un ) définie par :

u0 = 10, u1 = 4

5 f (u0) , . . . , un =

4

5 f (un−1) .

Calculer u1.

a. Exprimer un −2 en fonction de un−1.

Montrer que (un −2)(un−1−2) est positif quel que soit n et en déduire que un −2 est positif quel que soit n.

Calculer un −6 et montrer que un −6 est positif quel que soit n.

b. Démontrer l’inégalité : 2

un −6< (un−1−6)2

10

[On pourra chercher le signe de la différence (un−1−6)2

10 − (un −6)].

c. En raisonnant par récurrence prouver que :

un −6< 10 ·

(

2

5

)2n

.

En déduire que la suite (un ) converge et calculer lim n→+∞

un .

Montpellier 2 septembre 1977

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