Exercices - algèbre 3, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique - algèbre 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre complexe, le repère orthonormé, la fonction numérique.
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[ Baccalauréat C Montréal–New–York juin 1977 \

EXERCICE 1

On considère le nombre complexe u = 2−2i p 3.

1. Mettre u sous forme trigonométrique et en déduire tous les nombres com- plexes z tels que z4 =u.

2. Déterminer par la méthode algébrique les nombres complexes X tels que

X 2 =u, puis les nombres complexes z tels que z4 = u.

3. En déduire cos π

12 et sin

π

12 .

EXERCICE 2

Le plan affine euclidien est rapporté au repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→ )

.

On donne les points A, B, C, D de coordonnées respectives :

(1 ; 1) (−3 ; 3) (2 ; 2) (−4 ; 4)

On appelle E et F les milieux respectifs de (A, C) et (B, D).

1. Démontrer qu’il existe une rotation affine unique R qui transforme A en B et C en D.

Déterminer son angle et son centre I.

2. Démontrer qu’il existe une rotation affine unique R′ qui transforme A en D et C en B.

Déterminer son angle et son centre J.

3. Que peut-on dire du quadrilatère IEJF ?

Etudier R′ ◦R et R ◦R′.

PROBLÈME

Partie A

Soit f la fonction numérique définie par

x ∈]−∞ ; 0[, f (x) = 1−ex

x ∈]0 ; ∞[, f (x) = ex −1 ex +1

f (0) = 0

1. a. Montrer que f est continue sur R et que f est dérivable en tout point de R ⋆. Étudier la dérivabilité en 0.

b. Tracer la courbe (C ) représentative de f dansun repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

2. a. Vérifier que :

x > 0, f (x)= e

x 2 −e−

x 2

e x 2 +e−

x 2 .

Déterminez une primitive de la restriction de f à [0 ; +00[

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

b. On considère un réel λ (λ> 0). M étant un point de coordonnées (x ; y) déterminez l’aire Aλ de l’en- semble des points M vérifiant

{

0 6 x 6 λ f (x) 6 y 6 1

c. Aλ a-t-elle une limite finie lorsque λ tend vers +∞ ? 3. a. Soit y ∈]0 ; 1[.

Montrer que y admet exactement deux antécédents x et z par f tels que xz < 0. Calculer z en fonction de x lorsque x > 0 Calculer z en fonction de x lorsque x < 0

b. Étudiez le cas y = 0 c. Soit, ϕ ainsi définie

{

x ∈R⋆, ϕ(x) = z ϕ(0) = 0

Exprimer ϕ(x).

Étudiez la continuité de ϕ.

Montrer que ϕ est dérivable sur [0 ; +∞[ et sur ]−∞ ; 0]. ϕ est-elle déri- vable en 0 ?

Etudiez la limite de ϕ(x)+ x−Log2 lorsque x tend vers +∞ ou vers −∞. Qu’en déduire pour la courbe (Γ) représentative de ϕ dans

(

O, −→ ı ,

−→ )

?

La tracer.

Partie B

Plus généralement, soit une fonction numérique f définie sur R possédant les pro- priétés suivantes : α. f est continue sur R, dérivable en tout point de R⋆

β. ∀x ∈]−∞ ; 0[, f ′(x)< 0 γ. ∀x ∈]0 ; +∞[ f ′(x)> 0 δ. lim

x→+∞ f (x)= et lim

x→+∞ f (x)= ∈R.

1. On note f1 la restriction de f à [0 ; +∞[ et f2 sa restriction à l’intervalle ]−∞ ; 0]. Justifier l’existence de f −11 et de f

−1 2 .

Ceci permet de démontrer que tout y appartenant à ]

f (0) ; [

admet exacte- ment deux antécédents x et z par f tels que xz < 0.

2. Soit ϕ définie par

{

x ∈R⋆, ϕ(x) = z ϕ(0) = 0

Montrer que ∀x < 0 ϕ(x)= f −12 ◦ f (x) ∀x < 0 ϕ(x)= f −11 ◦ f (x)

Étudier la continuité de ϕ sur R.

3. Montrer que ϕ est dérivable en tout point de R⋆ et que

x ∈R⋆, ϕ′(x)= f ′(x)

f ′(ϕ(x)) .

Étudiez les variations de ϕ sur R.

Établir que lim x→+∞

ϕ(x)=−∞ et que lim x→−∞

ϕ(x)=+∞.

Montréal–New–York 2 juin 1977

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

4. Montrer que ϕϕ= 1R (1R : fonction identité de R→ R). Qu’en déduire pour la courbe représentative de ϕ dans un repère orthonormé ?

5. Peut-on déterminer simplement une famille de fonctions f telle que l’appli- cation ϕ associée soit −1R ?

Montréal–New–York 3 juin 1977

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