Exercices - algèbre 5, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique - algèbre 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la continuité et la dérivabilité de f en 0, l’espérance mathématique E(X) de X, la variance de X.
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[ Baccalauréat C Nantes juin 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit f l’application, de R dans R, définie par :

{

x 6 0 : f (x) = e−x +1 x > 0 : f (x) = 2+ x Log x

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.

2. Étudier le sens de variation de f . Tracer sa courbe représentative (C ) dans un

plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

l’axe x′Ox des abscisses est

dirigé par −→

ı ; on précisera les branches infinies et les demi-tangentes à (C ) au point de (C ) d’abscisse nulle.

3. m étant un réel strictement positif et inférieur à 1, calculer l’aireA (m) de l’en- semble des points du plan dont les coordonnées vérifient :

m6 x 6 1 et f (x)6 y 6 2.

Étudier lim m→0

A (m).

EXERCICE 2 4 POINTS

x est un entier naturel vérifiant : 26 x 6 8 et n est un entier relatif quelconque.

Un sac contient 10 boules dont x sont numérotées n et dont les (10− x) restantes sont numérotées 1. On tire simultanément deux boules du sac : les tirages ainsi faits sont supposés équi- probables.

1. Définir un espaceprobabilisé fini (Ω,P (n),p) permettant dedécrire l’épreuve.

2. On envisage la variable aléatoire réelle X qui, à tout événement élémentaire, associe la somme des nombres inscrits sur les boules tirées. Préciser l’image de n par X, et définir la loi de probabilité de X.

3. Calculer, en fonction de x et n, l’espérance mathématique E(X ) de X .

4. Dans cette question on choisit n égal à (−4) : calculer la variance de X.

PROBLÈME 12 POINTS

Soit E un espace affine euclidien orienté de dimension 3 ; on désigne par V l’espace vectoriel (sur R) associé à E. (

O, −→

ı , −→

, −→

k )

désigne un repère orthonormé direct de E.

F étant une partie non vide de E ou de V, on notera IF l’identité sur F ; en particulier l’identité IV sera simplifiée en I. Étant donné un sous-espace vectoriel U de V, on notera L (U) l’ensemble des endo- morphismes de U, c’est-à-dire l’ensemble des applications linéaires de V dans V.

D est la droite vectorielle de V engendrée par −→

k etP est le plan vectoriel orthogonal

à D. D est orientée par −→

k ; P se trouve donc ainsi orienté.

Partie A

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

On note φ l’ensemble des isométries vectorielles ϕ de V qui vérifient les conditions :

{

ϕ (

−→

k )

=

−→

k

ϕϕϕ = I

1. Démontrer que tout élément de φ est une rotation vectorielle.

On désigne par J la rotation vectorielle dont l’axe est D et dont l’angle mesure 2π

3 ; démontrer que φ est l’ensemble {I, J , K } avec K = J J .

2. On considère l’endomorphisme somme des trois éléments de φ ; caractériser les restrictions de cet endomorphisme respectivement à P et D ; décrire cet endomorphisme comme le composé de deux endomorphismes simples de V.

3. Démontrer que I et L = J+K engendrent un plan vectoriel de l’espace vectoriel L (V). α et β étant deux réels, on notera , β l’endomorphisme αI+βL (on

rappelle que les endomorphismes α I et βL associent à tout vecteur −→

v de V respectivement les vecteurs

(αI) (

−→

v )

=

−→

v et (βL) (

−→

v )

=β ·L (

−→

v )

.

Partie B

On note G l’application affine de E vers E qui laisse O invariant et dont l’endomor- phisme associé est f0, −1.

1. a. Définir analytiquement G.

b. Démontrer que l’ensemble des points invariants parG est le planP conte- nant O et de direction P .

c. M étant un point de E, on désigne parm le projeté orthogonal de M sur P.

Vérifier la relation : −−−−−−→

mG(M) =−2 −−−→

mM .

2. Déterminer les plans de E invariants par G ; caractériser la restriction de G à un tel plan distinct de P.

3. a étant un réel non nul, on envisage le cercle (C ) du plan d’équation x = 0, qui passe par O et dont le centre est le point Ω(0 ; a ; 0).

Démontrer que l’image (Γ) de (C ) par G est une conique dont on précisera la nature et les éléments géométriques (centre, axes, foyers, . . . ).

Construire (C ) et (Γ) dans le cas particulier : a = 2.

Partie C

Soit A un point de E. Étant donnés deux réels α et β, on note , β, l’application affine de E vers E qui laisse A invariant et dont l’endomorphisme associé est , β. On désigne par F l’ensemble des applications , β α et β décrivant R. Q etD désignent les variétés affines de E contenant A et de directions respectives P et D.

1. Démontrer que les restrictions de , β à P et à D sont respectivement :

(αβ)IP et (α+2β)ID

En déduire les restrictions de , β àQ et àD respectivement.

2. Déterminer les éléments de F qui sont des isométries.

3. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications F 2 3 , −

1 3 et

F 1 3 ,

1 3 .

Nantes 2 juin 1977

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

4. α étant un réel non nul distinct de 1

3 , démontrer que , α est la composée de

deux applications affines simples que l’on précisera.

5. α et β désignent deux réels distincts.

a. M étant unpoint deE, onnoteM ′ etm ses images respectives par F α αβ

, β

αβ

et par la projection orthogonale surQ .

Démontrer qu’il existe un réel k, que l’on précisera, tel que, quel que soit M , on ait :

−−−−→

mM ′ = k −−−→

mM .

b. Démontrer que , β est la composée de F α αβ

, β

αβ

et d’une homothétie

que l’on caractérisera.

Nantes 3 juin 1977

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