Exercices - algèbre 8, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices de mathématique - algèbre 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, la transformation, l'endomorphisme.
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[ Baccalauréat C Orléans–Tours septembre 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Déterminer le plus grand diviseur commun des nombres 21590 et 9525.

2. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs x pour lesquels on a

34x ≡ 2 (15).

3. Résoudre dans Z×Z l’équation :

21590x+9525y = 1270.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit P un plan affine rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Soit M ′ le transformé d’un point M de P dans la symétrie orthogonale par rapport à la droite D d’équation y = x. Soit M ′′ l’image de M ′ dans la symétrie orthogonale par rapport à la droite d’équation y = 0. Exprimer en fonction des coordonnées (x et y) de M , les coordonnées x′′ et y ′′deM”.

En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation, t1, de P qui àM associe M ′′.

Retrouver géométriquement ce résultat.

2. Soit t2 la transformation de P qui àM(x ; y) associe N (X ; Y ) tel que

{

X = 1+ y Y = 1− x

Caractériser la transformation t2, puis la transformation t2 ◦ t1.

PROBLÈME 4 POINTS

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 2. On désigne par F l’ensemble des endomorphismes ϕ de E qui possèdent les propriétés suivantes :

∀ −→ u ∈ E, ∀

−→ v ∈E, ϕ

(−→ u )

· −→ v =ϕ

(−→ v )

· −→ u .

(

ϕ

(−→ u )

· −→ v désigne le produit scalaire du vecteurϕ

(−→ u )

et du vecteur −→ v )

.

Partie A

On suppose que (−→ ı ,

−→

)

est une base orthonormée de E.

1. Montrer qu’un endomorphisme ϕ de E appartient à F si et seulement si on a

ϕ

(−→ ı )

· −→ =ϕ

(−→

)

· −→ ı .

2. Montrer qu’un endomorphisme ϕ de E de matrice

(

a c

b d

)

relativement à la

base (−→ ı ,

−→

)

, est un élément de F si et seulement si b = c.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

3. a. Soitϕunélément deF dematrice

(

a b

b d

)

relativement à la base (−→ ı ,

−→

)

.

Montrer que si ϕ est involutive alors ϕ est une isométrie vectorielle.

Dans le cas b = 0 on caractérisera chacune des applications ainsi obte- nues.

Dans le cas b 6= 0 on précisera la nature de l’application ϕ. b. Déterminer l’endomorphisme involutif ϕ0 de F tel que

ϕ0

(

2 −→ ı

−→

)

= 2

5

−→ ı +

11

5

−→ .

(On donnera la matrice de ϕ0, puis les éléments caractéristiques de ϕ0).

Partie B

1. Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie par

g (x)= 5

2 x+3

x2−4.

Étudier les variations de cette fonction. Construire sa représentation graphique (C), dans un plan affine E , associé au plan vectoriel euclidien E, et rapporté à

un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Onmontrera que (C) admet deux asymptotes.

2. Soit h l’homothétie de centre O et de rapport −1. Déterminer, relativement au repère

(

O, −→ ı ,

−→

)

, l’équation de la courbe (C′),

image de la courbe (C) par h, etmontrer qu’un pointM de coordonnées (x ; y) dans ce repère appartient à (C) ∪ (C′) si et seulement si

y2− 11

4 x2−5xy +36 = 0.

3. On désigne par f0 l’application affine dont l’endomorphisme associé est ϕ0 et qui laisse invariant le point O. Montrer que la courbe (C) ∪ (C′) est globale- ment invariante par f0.

4. Soient

−→ I =

2 p 5

−→ ı +

1 p 5

−→

−→ J = −

1 p 5

−→ ı +

2 p 5

−→

.

Déterminer l’équation de (C) ∪ (C′) dans le repère (

O, −→ I ,

−→ J )

et en déduire la

nature de cette courbe.

Retrouver ainsi le résultat de la question 3. précédente.

5. Montrer qu’une primitive de la fonction x 7−→ p x2−4+ x est la fonction

x 7−→ x2

2 +

x p x2−4 2

−2Log ∣

x+ √

x2−4 ∣

∣ .

Déterminer l’aire A (α) de la partie du plan limitée par la courbe (C), la droite

d’équation y = − 1

2 x, et les droites d’équations respectives x = α et x = −2

relativement au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, α étant un réel strictement inférieur à −2.

Orléans–Tours 2 septembre 1977

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